2022-2023学年江西省吉安市永丰县永丰中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省吉安市永丰县永丰中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若函数，则曲线在点处切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出导数，即可求出切线的斜率，进而求出倾斜角.

【详解】因为函数的导数是，

所以.

设曲线在点处切线的倾斜角为，则，

所以.

故选：B.

2．定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（   ）

A．是的一个极小值点

B．和都是的极大值点

C．的单调递增区间是

D．的单调递减区间是

【答案】B

【分析】根据导函数的图象和极值点的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，由图象可知，当时，，当时，，所以是的一个极小值点，所以A正确，

对于B，由图可知，当时，，所以在上单调递增，所以和不是的极值点，所以B错误，

对于C，当时，，所以的单调递增区间是，所以C正确，

对于D，当时，，所以的单调递减区间是，所以D正确，

故选：B

3．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（     ）

A．        B． C．  D．

【答案】A

【分析】由题得，再利用累乘法求解.

【详解】解：由，得，

即，则，，，…，，

由累乘法可得，所以，

又，符合上式，所以.

故选：A．

4．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.

【详解】当时，有，即；当时，有，

又，即，综上，有，

故选：C．

5．等差数列和的前项和分别记为与，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.

【详解】因为，所以.

故选：D.

6．已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D

【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值

【详解】解：由题意

在圆中

∴圆心，半径为3，

过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，

过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：

由几何知识得，当时，

为最短弦长；为最长弦长，为6.

此时，

直线的解析式为：

直线的解析式为：

圆心到弦BC所在直线的距离：

连接,

由勾股定理得，

∴，

∴最短弦长，

∵，，…，是公差为的等差数列

∴设

∵最长弦长为6

∴

解得：

故选：D.

7．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．

【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，

事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，

又，则，

即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．

故选：D．

8．已知函数，若不等式上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知不等式化为，判断在的大小关系，得出在的单调性，即可求出的取值范围.

【详解】∵，

∴，∵，

令恒成立，

在单调递增，，

所以在上恒成立，

∴在恒为递增函数，

∴，

在恒成立，.

故选:B.

【点睛】本题以不等式恒成立为背景，考查函数的单调性，以及导数的应用，属于中档题.

二、多选题

9．在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A． B．平面

C．平面与平面相交 D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则，

，

A：，有，

则DF与不垂直，故A错误；

B：，，

设平面DEF的法向量为，

则，令，得，

所以，得，所以平面DEF，故B正确；

C：，由B选项可知平面DEF的法向量，

设平面的法向量分别为，

，令，得，

所以，得不成立，所以平面与平面DEF相交，故C正确；

D：由，平面DEF的法向量，

则点B到平面DEF的距离为，故D正确.

故选：BCD.

10．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列的通项公式，进一步得到的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式及错位相减法求的前项和，则答案可求．

【详解】设等差数列的公差为，由，，是一个等比数列中的相邻三项，

得，即，整理得，即或．

或．

当时，，

当时，．

若，则的前项和为；

若，设的前项和为，

则，

，

，

则．

故选：BD

11．双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．焦点到渐近线的距离是3

B．若，则的面积是9

C．直线的斜率为，直线的斜率为，则

D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为

【答案】ABD

【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A，根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解B，利用反例即可说明C，根据面积公式即可求解D.

【详解】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确；

时，则，故，

由勾股定理得 得，

则，所以，

由三角形的面积公式可得，故B正确；

当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误；

过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故，

则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确，

故选：ABD.

12．设函数，，下列命题，正确的是（    ）

A．函数在上单调递增，在单调递减

B．不等关系成立

C．若时，总有恒成立，则

D．若函数有两个极值点，则实数

【答案】AC

【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.

由，可得，由，可得.

所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；

对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，

所以，，即，又，

所以，，整理可得，B选项错误；

对于C选项，若时，总有恒成立，

可得，构造函数，

则，即函数为上的减函数，

对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，其中，.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以，，，C选项正确；

对于D选项，，则，

由于函数有两个极值点，令，可得，

则函数与函数在区间上的图象有两个交点，

当时，，如下图所示：

当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.

所以，实数的取值范围是，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

三、填空题

13．已知数列满足，(为正整数)，则______．

【答案】/0.8

【分析】根据递推公式依次计算各项，可知数列是以为周期的周期数列；根据周期数列特点可求得结果.

【详解】因为，

，

，

，

所以是周期为3的数列，

因为，

所以，

故答案为：

14．抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则________.

【答案】6

【分析】要求，需要求出，设直线的斜率为，根据条件表示出线段的垂直平分线方程，令，可得，又由点差法可得，从而可求出，即也可知道，从而可求出

【详解】由题意得，设线段的中点为，

则，

设直线的斜率为，

则线段的垂直平分线方程为，

令，得，即，

又，作差得

整理得，

所以，

∴．

故答案为6．

【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，是基础题

15．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则___________.

【答案】

【分析】求出数列首项，对代数式变形求出即可得解.

【详解】数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，

所以，

当时，由得，

，所以，数列的各项均为正数，，

所以.

故答案为：

16．已知函数(为自然对数的底数)，若有三个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】设，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在时，取得最小值，

令，其图象如图所示，且，

要使得函数有三个零点，则满足，即，

故函数有三个零点，实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.

四、解答题

17．已知函数.

(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；

(2)令，求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）（2）最大值，最小值

【分析】（1）求函数的导数，，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值.

【详解】(1)设切线的方程为

，则

，则

切线方程为

则

∴切线的方程为.

(2)，

当时，；时，，

所以最大值

∵，，且

所以最小值.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.

18．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式及数列的前n项和.

（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1),;(2)存在正整数,使得,,成等比数列.

【分析】(1)将等差数列求和公式代入,化简后可得,再将其带入,利用裂项相消法可求得;

(2)根据等比中项的性质建立等式,化简后即可求得的范围,再结合题意均为正整数,进而可得解.

【详解】(1)是各项均不为0的等差数列,

,

,

,

;

(2)若存在正整数,使得,,成等比数列,

则,即,

化简得:,

解得:

又且,

所以,,

故存在正整数,使得,,成等比数列.

【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质,考查了学生综合分析问题和实际应用的能力.

19．如图，在四棱锥，底面，，为棱上一点.

（1）确定点E的位置，使得直线平面；

（2）若二面角的正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）为的中点；（2）.

【分析】（1）直线平面时，平面与平面的交线与平行，注意到与平面平行，，因此是中点，再由线面平行的判定定理证明即可；

（2）以为坐标原点，以，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角确定点位置，再由线面角的余弦．

【详解】解：（1）为的中点.

取PA的中点F，连EF､FD，E为PB的中点，即，

又，

则四边形CDFE为平行四边形，故，

故面.

（2）以为坐标原点，以，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则.

设，则.

在棱上，可设().

故，解得，即.

设平面的法向量为，，

，即，取，则.

设平面的法向量，，

，即，取，则.

二面角的正弦值为，则余弦值为，

，即，即.

又，解得，即，.

轴平面，平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则.

故与平面所成角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：

（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．

20．为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；

(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．

（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；

（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．

参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，

【分析】（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；

（2）（ⅰ）求出，的值，结合正态分布求出概率；

（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.

【详解】（1）解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，

消费金额为的人数为，

设消费金额为的人数为，则，

所以，，，

的分布列为

则；

（2）解：（ⅰ）由题意得

，

所以，

所以；

（ⅱ）由题意及（ⅰ）得，

所以，，

，，

，

的分布列为

．

21．已知椭圆过点，且．

(1)求椭圆C的方程：

(2)过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，联立即可求得与（2）作图分析可知，要证即证，以直线的斜率为参数表示出与，结合韦达定理化简即可证明

【详解】（1）由椭圆过点 , 得 .

又

解得

椭圆的方程为

（2）

当直线 的斜率不存在时, 显然不合题意.

设直线 ,

由 得.

由 , 得 .

设 ,

则 .

又 直线:

令 , 得

将 代入, 得

.

同理

22．已知函数．

(1)若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程；

(2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的减区间为，增区间为；切线方程为.

(2)

【分析】（1）将a＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；

（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.

【详解】（1）当时，

由，有，

由有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的减区间为，增区间为；

又，所以切点为，

切线斜率，

所以切线方程，

即切线方程为.

（2），

，

设，

则

∵，∴，

在上单调递增，

，

①当，即时，

，

在上单调递增，

则，

∴，

故．

②当，即时，

，

，，

即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则

，

∴，

∴．

由，

令函数，且，

，

在上单调递增，，

∵，

∴．

综上，实数a的取值范围是：．

【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：

①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），

②求极值或最值

③求切线方程

④通过切线方程求原函数的解析式

⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围

⑥证明不等式

⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围

解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.