2022-2023学年福建省龙岩市连城县第一中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省龙岩市连城县第一中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算性质，以及共轭复数的概念进行计算即可.

【详解】因为，

则．

故选：A

2．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量的加法法则求解即可.

【详解】，，

，.

故选：B.

3．在边长为6的正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F在边BC上且，则（    ）

A．18 B．24 C．30 D．42

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

易知，

所以，

所以.

故选：C

4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义计算即可.

【详解】因为向量，且，那么，

所以向量在向量上的投影向量为，

故选：D.

5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.

【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.

对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.

对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确.

对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.

故选：C

6．在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理进行边化角化简可得，根据余弦值求出，代入上式可求得外接圆半径从而求出外接圆面积.

【详解】由题意及正弦定理得

(R为的外接圆半径)，即，

又及，知，

，解得，

所以外接圆面积.

故选：C

7．一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）

A．2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B．这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C．这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D．这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

【答案】D

【分析】计算2022年，2023年春节档平均每场观影人数可判断A；求得这4年中，每年春节档上映新片的数量的众数可判断B；求出这4年中，每年春节档票房的极差可判断C；求出这4年平均每部影片的观影人数可判断D.

【详解】对于A，2022年春节档平均每场观影人数为，

2023年春节档平均每场观影人数为，故A错误；

对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；

对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；

对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为万，万，万，万，故D正确.

故选：D.

8．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（    ）

A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸

【答案】D

【分析】根据圆台的计算公式求解.

【详解】

如图所示，由题意知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径是6寸，高为18寸，

由积水深9寸知水面半径为 (14+6) = 10寸，

则盆中水体积为  (立方寸)，所以平地降雨量为 3(寸)；

故选：D.

二、多选题

9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.

【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，

所以，可得，故B正确；

又，所以，故A错误；

由，所以，故C错误；

，故D正确.

故选：BD

10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（    ）

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF

【答案】BC

【分析】由题意可得，AH⊥HE，AH⊥HF，HF⊥HE，从而利用线面垂直的判定定理可得AH⊥平面EFH，HF⊥平面AHE，进而可得答案

【详解】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.

∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确.

又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.

HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确.

故选：BC.

【点睛】此题考查线面垂直的判定，考查折叠问题，属于基础题

11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．若，且的面积为，则的最小边长为2

C．若时，是唯一的，则

D．若时，周长的范围为

【答案】ABD

【分析】根据题干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根据各个选项的条件逐一求解即可.

【详解】对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得：

，整理得： ，即。

，则，故A选项正确；

对于选项B：因为，且的面积为，则由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,则，所以三角形中边长为最小边，，故B选项正确；

对于选项C：当时，而又，由正弦定理，即，唯一，

，故C选项错误;

对于选项D：

，

，

则有 即，而，

所以周长 的范围为，故D选项正确.

故选：ABD.

12．如图，设分别是正方体的棱上两点，且，下列说法正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为

B．三棱锥的体积为3

C．平面与平面所成的二面角大小为

D．直线与平面所成的角为

【答案】ABD

【分析】根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各选项进行判断．

【详解】A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A正确；

B中，三棱锥的体积，B正确；

C中，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C错误；

D中，连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．

故选：ABD．

【点睛】思路点睛：求空间的角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题时可根据定义作出空间角的“平面角”，然后计算．

三、填空题

13．的内角，，所对的边分别为，且，，，则的值为          .

【答案】

【分析】由正弦定理求解即可.

【详解】因为，，，

由正弦定理，可得，

因为，所以，又，

所以.

故答案为：.

四、解答题

14．如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积．

【答案】

【分析】根据斜二测法中原图与直观图面积的数量关系，即可求原来面积.

【详解】由题设，正三角形在轴上的底与原图一样为2，

而正三角形的高是原图高的并倾斜45°后得到，有，即，

若原来面积为，则.

五、填空题

15．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是           人

【答案】

【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.

【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.

故答案为：

六、双空题

16．三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是        ；它的外接球的表面积是        .

【答案】         

【分析】若设P在底面ABC的投影为H，分别作于点D，于点E，于点F，则，，，依题意，H为的内心，由三角形全等推出，再利用三个侧面的面积分别为12，16，20，可得，从而求出，然后求内切圆半径，再求出三棱锥的体积；确定三棱锥外接球球心位置，构造直角三角形利用勾股定理及球的表面积公式进行计算.

【详解】不妨设

设P在底面ABC的投影为H，分别作于点D，于点E，于点F，则，，．

依题意，H为的内心，则，故，

又，，，

所以，所以，

令．

所以，解得，

所以．

设内切圆半径为，则，

即，解得，故，

由，得，所以，

所以.

，点C在以AB为直径的圆上，

取AB中点为G，则以AB为直径的圆的圆心为点G，

设三棱锥P-ABC的外接球球心为点O，连接OG，易知平面ABC，又平面ABC，则，

过点O作交PH于点N，

平面ABC，平面ABC，，即，

四边形GHNO为矩形，则，

在平面ABC上建立如图所示直角坐标系，则，

，

设，若点N在线段PH上，

则，，

在直角中，即，

解得，故点N在线段PH的延长线上，则，

同理可得，解得，

所以三棱锥P-ABC的外接球半径为，

三棱锥P-ABC的外接球表面积.

故答案为：；

【点睛】本小题考查空间点、线、面位置关系，空间几何体的侧面积、体积等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力、论证推理能力，属于难题.

七、解答题

17．在复平面内，复数，其中．

(1)若复数为纯虚数，求的值；

(2)若复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由纯虚数的概念求参数；

（2）由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围.

【详解】（1）∵复数为纯虚数，

∴，可得.

（2）∵对应的点在第二象限，

∴，解得，

即实数的取值范围为．

18．设A，B，C，D为平面内的四点，且.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）设，因为，于是，整理得，

即有，解得，

所以.

（2）因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

19．2021年根据移动通信协会监测，某校全体教师通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

(1)若该校有200名教师，采用分层抽样的方法从这200名教师中抽取容量为20的样本，求每组应抽取的样本量；

(2)估计该校教师话费的80%分位数；

(3)估计该校教师通讯费用的众数和平均数．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)众数为70，平均数为

【分析】（1）根据频率分布直方图可得四组的比例为，再结合分层抽样求解；（2）根据每组频率可知80%分位数在[80，100]内，利用频率计算处理；（3）根据众数和平均数的概念利用每组区间的中点值进行估计计算．

【详解】（1）

采用分层抽样的方法从这200名该校教师中抽取容量为20的样本，

即费用（单位：元）在[20，40）中抽取2位教师

在[40，60）中抽取4位教师.

在[60，80）中抽取8位教师

在[80，100]中抽取6位教师.

（2）该校教师话费在80元以下的频率为：，

该校教师话费在[80，100]的频率为0.3，

因此，该校教师话费的80%分位数在[80，100]内，

由．

可以估计该校教师话费的80%分位数为.

（3）该校教师通讯费用的众数为70；

平均数为：

20．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）求证：//平面．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.

（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】（1）因为，平面平面，

平面平面，

平面，则平面．

又因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，．

在中，因为，分别是，的中点，

所以//，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以//，且，

所以//，且

在平行四边形是平行四边形，

所以//．

又因为平面，平面，

所以//平面．

【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.

21．如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设.

(1)将、用含有的关系式表示出来；

(2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？喷㬌M与山庄O的距离最大？

【答案】(1)，.

(2)当时，的最大值.

【分析】（1）根据题意和正弦定理，即可求得，；

（2）在中，由余弦定理化简得到，结合三角函数的图像与性质，即可求解.

【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，

因为，， 所以，

所以，.

（2）解：因为，，所以，

在中，由余弦定理易知，

即

，

因为，所以，，

当，即时，取最大值，即取最大值，

此时， ，

故当时，取最大值.

22．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．

(1)求证：平面ADE；

(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；

(3)求点F到平面ABCD的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；

（2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可；

（3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案．

【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，

平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，

∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，

，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE；

（2）∵，，∴即为二面角的平面角，

∴，

又，平面ADE，

所以平面ADE，作于O，因为平面ADE，

所以，又，平面CDEF，

所以平面CDEF，连结CO，

所以直线AC与平面CDEF所成角为，

，，所以．

直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为；

（3）由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得

，，，所以．