2022-2023学年江苏省射阳中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省射阳中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出，从而得到交集.

【详解】，

故.

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.

【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，

命题“，”是全称量词的命题，

所以其否定是“，”.

故选：C

3．已知角的终边经过点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点，先表示出该点和原点之间的距离，再根据三角函数的定义列出等式，解方程可得答案.

【详解】因为角的终边经过点，

则 ，

因为，所以 ，且 ，

解得 ，

故选：B.

4．函数在上的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性可排除利用排除选项即可.

【详解】因为，

所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除;

又，排除.

故选：

5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，

函数在R上单调递增，而，则，即，

所以.

故选：B

6．如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（　　）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】∵点位于第四象限，∴，

∴角所在的象限是第二象限．

故选B．

7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．9 B．25 C．16 D．12

【答案】B

【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.

【详解】由得，

又因为，所以实数均是正数，

若不等式恒成立，即；

，

当且仅当时，等号成立；

所以，，即实数的最大值为25.

故选：B.

8．若实数x，y满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得，然后构造函数，，再通过判断函数的单调性可得，然后逐个分析判断即可.

【详解】因为，所以，

令，则，

因为和在上均为增函数，所以在上为增函数，

所以，

对于AB，因为，所以，所以，所以A正确，B错误，

对于CD，因为，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以CD错误，

故选：A

二、多选题

9．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质正确的有：（    ）

A． B．的值域为 C．为奇函数 D．

【答案】ABD

【分析】利用狄利克雷函数的性质即得ABD正确；利用函数奇偶性的定义判定C不正确.

【详解】由题得，则，所以A正确；

容易得的值域为，所以B正确；

因为，所以为偶函数，所以C不正确；

因为，所以，所以D正确．

故选：ABD．

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件

B．若幂函数在上单调递减，则实数或

C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是

D．若方程在区间上有实数解，则实数a的取值范围为

【答案】AD

【分析】对于A：根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据幂函数的定义与性质运算求解；对于C：根据函数单调性结合函数零点分析判断；对于选项D：换元令，利用参变分离分析求解.

【详解】对于选项A：若，则函数不一定为奇函数，

例如，则，但为偶函数；

若函数为奇函数，则，

令，可得，可得；

所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故A正确；

对于选项B：若幂函数在上单调递减，

则，解得，故B错误；

对于选项C：令，可知在定义域内单调递增，

当时，则，

所以在内无零点，即方程在内无根，故C错误；

对于选项D：因为，则，

且，令，则，

可得，则，

所以实数a的取值范围为，故D正确；

故选：AD.

11．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．函数的周期为

B．直线是函数图象的一条对称轴

C．函数的单调递增区间为

D．函数是偶函数

【答案】ACD

【分析】由图计算周期，判断选项A，从而得，代入最小值计算出值，得函数的解析式，代入计算判断选项B，利用整体法计算函数的单调递增区间，判断选项C，写出函数的解析式并化简，判断选项D.

【详解】由图可知，，解得，故A正确；

所以，又因为，所以，

得，因为，所以，

所以，将代入解析式可得，

所以不是函数图象的对称轴，故B错误；

由整体法可得，，

得，

所以函数的单调递增区间为，故C正确；

，

所以函数是偶函数，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】作出在上的图象，由方程有五个互不相等的实数根，结合图象可得 ，从而判断A；由对数的性质可得，从而有，结合基本不等式即可判断B；由题意可得，结合，即可判断C；由余弦函数的对称性可得，，代入得，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得的范围，从而判断D.

【详解】  

作出在上的图象，如图所示：

对于A，因为，

又因为方程有五个互不相等的实数根，所以，故A错误；

对于B，由题意可得，且有

所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立， 故B正确；

对于C，由题意可得，

由A可知，所以， 故C正确；

对于D，由图可知：与关于对称，与关于对称，

且，， 所以，

所以

因为，所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以，即， 故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：

这道题的关键是能够准确作出在上的图象，再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性，即可求解问题.

三、填空题

13．函数的定义域为           ．

【答案】

【分析】使函数有意义的条件是被开方数大于等于0，分母不为0.

【详解】要使函数有意义，则，解得且.

故函数的定义域为

故答案为：

14．已知定义在上的函数满足，当时，，则           .

【答案】1

【分析】根据函数的周期性求解即可.

【详解】因为定义在R上的函数满足，

所以函数的周期为，所以．

因为当时，，

所以.

故答案为：1．

15．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是           .

【答案】

【分析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.

【详解】由弧长公式可得，可得，

所以，由和线段所围成的弓形的面积为，

而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，

因此，该勒洛三角形的面积为.

故答案为：.

16．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”.已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围.

【详解】设，则定义域为R，

且，故为偶函数，

定义域为R，且，

故为奇函数，

所以为偶函数，

且在上单调递增，

故在R上单调递增，

若，则画出的图象如下：

即在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，

因为为偶函数，所以有，满足3增函数，

若，画出的图象如下：

则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因为为偶函数，

所以只需任取，使得，

由对称性可知，存在，使得，且，

故满足，故满足3增函数，

若时，画出的图象如下：

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因为为偶函数，

故只需满足任取，使得，

由对称性可知：存在，使得，

所以要满足，结合，解得：，

综上：实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；

复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.

四、解答题

17．设全集，已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用并集和补集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解；

（2）根据交集的运算结果得出集合间的包含关系，再利用分类讨论即可求出实数的取值范围

【详解】（1）因为

当时，

所以

所以或

（2）因为，所以

（ⅰ）当时，则，即

（ⅱ）当时，则

由，得，所以

综上所述：实数的取值范围是

18．（1）已知，求的值；

（2）计算：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据诱导公式及弦化切公式得出结果；

（2）根据指数幂运算以及对数恒等式、换底公式得出结果.

【详解】（1）因为，

所以；

（2）

.

19．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.

(1)根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；

(2)若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.

【答案】(1)函数模型①，函数模型②

(2)函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500

【分析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；

（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.

【详解】（1）对于函数模型①：把及相应y值代入得

解得，所以.

对于函数模型②：把及相应y值代入得

解得，所以.

（2）对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；

对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，

所以函数模型②更合适.

要使，则，

即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.

20．已知函数的图象关于点对称．

(1)当时，求函数的值域；

(2)若将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（其中），所得图象的解析式为．若函数在有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得，可得出函数的解析式，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；

（2）求得，由可求得，根据题中条件可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.

【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称，

则，可得，，故，

所以，，

当时，，则，则.

因此，当时，函数的值域为.

（2）解：由题可得，，

当时，因为，则，

因为函数在有两个零点，则，解得.

因此，的取值范围是.

21．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围；

（2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；

【详解】（1）由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，

又，即为奇函数.

又，

函数在上单调递减，值域为.

由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R，

不等式，转化为，

因为为奇函数，所以，

因为在上单调递减，所以，

即，即，

即，解得，

则原不等式的解集为.

（2）因为存在，使得成立，

所以时，的值域与的值域有交集.

因为在上是减函数，，

所以的值域为，

当时，在上单调递减，故的值域为，

所以即，

当时，在上单调递增，故的值域为，不符.

综上所述，实数a的取值范围为.

22．已知函数.

(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；

(2)若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(3)若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可；

（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；

（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）当时，，，

所以，

所以函数为奇函数；

（2），当时，的对称轴为；

当时，的对称轴为；

所以当时，在R上是增函数，

即时，函数在R上是增函数；

（3）方程的解即为方程的解.

①当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；

②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以.

设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，又可证在上单调递增，所以，故；

③当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以，设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，而函数在上单调递减，所以，故；

综上：.

【点睛】关键点睛：根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.