4.江苏省射阳中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

这是一份4.江苏省射阳中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
分值：150分 时间：120分钟 命题：
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．长方体是正四棱柱
B．圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长
C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
3．在中，，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
4．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
5．设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数B．
C．D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ）
A．A=2BB．B的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
12．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．设，且，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为 ．
14．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
15．表示一个整数，该整数使得等式成立，则这个整数为 .
16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共10+12×5=70分.请在答题卡指定区域的作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知复数，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．
18．在平面直角坐标系中，，，．
（1）若A，B，C三点不能构成三角形，求实数k的值；
（2）若为直角三角形，求实数k的值．
19．在平面四边形中，，，.
（1）若的面积为，求；
（2）若，，求.
20．已知，，且，．
(1)求和；
(2)求的大小．
21．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告．如图，设A，B是相距海里的两个观察站，满足，一外轮在P点，测得，．
(1)当，时，该外轮是否被警告？
(2)当时，问处于什么范围内外轮不被警告？
22．已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
参考答案
1．B
2．D
3．D
4．A
5．D
6．C
7．C
8．D
9．ABD
10．BCD
11．ACD
12．BC
13．
14．
15．1
16．
17．(1)1
(2)
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
所以，解得：m=1.
（2）当时，.
因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，解得：.
18．（1）；（2）．
【详解】（1）A，B，C三点不能构成三角形，则和共线，所以，；
（2）由已知，，则，
若为直角，则，，
若为直角，则，或，
若是直角，则，，
综上，的值为．
19．(1) (2)
【详解】（1）在中，因为，，，
所以，解得：.
在中，由余弦定理得：
所以
（2）设，则
如图，
在中，因为，所以
在中，，
由正弦定理，得，即
所以
所以，即
所以，即
20．(1)；
(2)
【详解】（1），，故，，，
；.
（2），，故，，
又，故，
，，故，
，故，
，
，
，，故，故.
21．(1)该向外轮发出警告，令其退出我国海域
(2)当时，外轮不被警告
【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ，
在△ABP中，，，则，
所以，
在Rt△BPQ中，，
因为，
所以，
故该向外轮发出警告，令其退出我国海域．
（2）当时，
在△ABP中，由正弦定理得：，
解得，
，
要使不被警告，则，即，
解得，
又因为，
所以，
由得，
解得，
所以，当时，外轮不被警告．
22．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，
即，所以，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，
所以


，
因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，即，所以，
所以，
即的取值范围为.
（2）因为，
所以，即，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，
所以由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以，即,
两边同时除以，得，
因为且△ABC为锐角三角形，
所以，所以
所以，
所以
，
令，则，
所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.