2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集概念进行求解.

【详解】.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得.

【详解】命题“，”的否定是“，”，

故选：C

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据真数大于零，列不等式即可求解.

【详解】由题意得，解得或，

所以函数的定义域为.

故选：B.

4．已知函数，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】先求出，再求

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A

5．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.

【详解】开口向上，对称轴为，

要想在区间上为单调减函数，则.

故选：D

6．函数的零点为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由函数单调性及，求出答案.

【详解】在上单调递增，又，

故函数的零点为.

故选：A

7．下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义和基本函数的单调性逐个分析判断

【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以A错误，

对于B，的定义域为，因为，所以此函数为奇函数，

因为在上为增函数，所以B正确，

对于C，在上为减函数，所以C错误，

对于D，的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以D错误，

故选：B

8．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据和的单调性可得AB正误；根据的单调性，结合对数运算法则可判断CD正误.

【详解】对于A，当时，在上为增函数，故当时，，A错误；

对于B，当时，在上为减函数，故当时，，B错误；

对于C、D，因为，所以在上单调递减，

又，所以，所以，即，C错误，D正确.

故选：D.

二、多选题

9．若函数，且，则实数的值可能为（    ）

A． B．0 C．2 D．3

【答案】BCD

【分析】分和两种情况求解即可.

【详解】当时，由，得，得，解得或，

当时，由，得，得，解得（舍去）或，

综上，，或，或，

故选：BCD

10．下列命题中，是真命题的有（    ）

A．“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件；

B．“”是“”的既不充分也不必要条件；

C．“”是“”的充要条件

D．“”是“”的充分不必要条件．

【答案】BD

【分析】A选项，举出反例得到必要性不成立；B选项，举出例子得到B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立；D选项，先根据对数函数单调性得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立.

【详解】A选项，若，此时为奇函数，但无意义，必要性不成立，A错误；

B选项，若，满足，但不满足，充分性不成立，

若，满足，但不满足，必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；

C选项，若，满足，但不满足，故充分性不成立，C错误；

D选项，，由对数函数单调性可知，充分性成立，

若，满足，但均无意义，必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，D正确.

故选：BD

11．若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ）

A．函数为奇函数 B．函数为偶函数

C．函数在为减函数 D．函数在为增函数

【答案】AC

【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.

【详解】因为是幂函数，所以设，

又的图像经过点，所以，所以，即，

所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；

故选：AC.

12．已知函数，则下列命题中，正确的有（    ）

A．函数的值域为；

B．函数的单调增区间为；

C．方程有两个不同的实数解；

D．函数的图象关于直线对称．

【答案】BCD

【分析】A选项，根据求出，得到答案；B选项，根据复合函数单调性求出的单调递增区间即可；C选项，求出，得到两个实数解；D选项，根据关于对称，得到的图象关于对称，D正确.

【详解】A选项，因为，故，

故函数的值域为，A错误；

B选项，因为在R上单调递增，

故的单调递增区间为的单调递增区间，

因为的单调递增区间为，

所以函数的单调增区间为，B正确；

C选项，令，即，所以，解得，

故方程有两个不同的实数解，C正确；

D选项，关于对称，

故的图象关于对称，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．若则实数的值为     .

【答案】2

【分析】由已知中若0∈{m，m2﹣2m}，根据元素与集合之间的关系，可得m＝0或m2﹣2m＝0，分类讨论，结合集合元素的互异性排除掉不满足条件的m值，即可得到答案．

【详解】解：∵0∈{m，m2﹣2m}，

∴m＝0或m2﹣2m＝0

当m＝0时，m2﹣2m＝0，这与集合元素的互异性矛盾，

当m2﹣2m＝0时，m＝0（舍去）或m＝2

故答案为2

【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据0∈{m，m2﹣2m}，得到关于m的方程是解答本题的关键，但解答过程中易忽略集合元素的互异性，而错解为m＝0或m＝2

14．将函数的图象向右平移1个单位，可得到函数                  的图象．

【答案】

【分析】根据“左加右减”进行求解.

【详解】的图象向右平移1个单位，得到的图象.

故答案为：

15．若，且，则实数的值为         ．

【答案】

【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案.

【详解】因为，所以，，

故，

则，

所以，解得.

故答案为：

16．函数有       个零点．

【答案】2

【分析】将问题转化为方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，画出两函数的图象，即可求得结果.

【详解】函数的零点个数，就是方程的根的个数，

即函数和的图象交点个数，

函数和的图象如下图所示，

由图象可知，两函数图象有2个交点，

所以函数有2个零点，

故答案为：2

四、解答题

17．若不等式的解集为A，的解集为B．

(1)求集合A和B（用区间表示）；

(2)求，．

【答案】(1)，

(2)，.

【分析】（1）直接解不等式求出其解集，即可得到两集合，

（2）利用交集和并集的定义直接求解即可

【详解】（1）由，得，解得，

所以集合，

由，得，得，

所以，解得，

所以集合，

（2）因为，，

所以，.

18．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)7

(2)

【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可，

（2）利用对数的运算性质求解即可

【详解】（1）

.

（2）

.

19．解下列不等式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式，求出解集；

（2）先换元得到，求出，从而得到，求出解集.

【详解】（1）因为，所以，

解得，

所以原不等式的解集为.

（2）变形为，

令，则，解得或（舍去），

即，解得，

所以原不等式的解集为 .

20．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求实数，，的值；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)，，；

(2)

【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解；

（2）分段讨论求解一元二次不等式，最后再求并集即可.

【详解】（1）因为时，，

若，则，所以，

因为函数是定义在上的奇函数，所以，

而时，，所以，，；

（2）由（1）知，

当时，等价于，即，解得或，

又，所以；

当时，等价于，即，解得，

又，所以；

综上，不等式的解集为.

21．已知正数，满足．

(1)当，取何值时，有最大值？

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据基本不等式直接求解即可；

（2）只需得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出答案.

【详解】（1）因为正数，满足，

由基本不等式得，解得，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最大值为

（2）要想恒成立，只需，

正数，满足，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故，解得，

所以实数的取值范围是.

22．若增函数对任意，，都有，且，恒成立．

(1)求，，；

(2)求方程的解集；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)，，，

(2)

(3)

【分析】（1）利用赋值法，令，可求出，再令，可求出，再令，可求出；

（2）由题意可得，则，再由函数的单调性可得，从而可求出方程的解；

（3）由已知可求得，所以原不等式可化为，再由其单调性得，然后解一元二次不等式可得答案.

【详解】（1）令，则，得，

令，则，所以，

因为，所以，

令，则，所以，得，

（2）由题意可知，得，

因为，所以，

所以，所以，

因为为上的增函数，所以，

所以，，

所以或，

所以或，

所以方程的解集为

（3）因为，所以，

所以，

所以由，得，

因为为上的增函数，所以，

所以，，

解得，

所以不等式的解集为.

【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的性质和运用，考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，解题的关键是利用赋值法求值，考查计算能力，属于中档题.