初中数学苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精品同步测试题

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知识精讲
知识点01 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
【微点拨】
识别一元二次方程必须抓住三个条件：
整式方程；
含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
【即学即练1】1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、是一元一次方程，故错误；
B、不是整式方程，故错误；
C、是二元二次方程，故错误；
D、是一元二次方程，故正确．
故选：D．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【微点拨】
只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
【即学即练2】2．下列方程中，常数项为0的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】
解：A、x2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
B、2x2-x-24=0，常数项为-24，故本选项不符合；
C、2x2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
D、2x2-x=0，常数项为0，故本选项符合．
故选：D．
知识点03 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【即学即练3】3．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．B．0C．1D．5
【答案】A
【分析】
把x=m代入即可求解．
【详解】
解：把x=m代入，得
，
∴，
故选A．
知识点04 一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
【即学即练4】4．已知是关于x方程的根，则代数式的值为（ ）
A．11B．14C．20D．23
【答案】A
【分析】
将代入方程可得，然后适当整理变形即可求解．
【详解】
解：将代入方程可得
∴
∴
故选：A
能力拓展
考法01 一元二次方程的定义
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程
【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】
解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
考法02 一元二次方程的解
方程的解的定义：使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根
一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数
二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0.
（3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
【典例2】若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】
解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：A．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列关于x的方程一定有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分别根据方程的解得定义，从a的取值出发进行判断．
【详解】
解：A、有实数解，故符合；
B、，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；
C、，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；
D、，当a＜0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；
故选A．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A．B．
C．D．（为常数）．
【答案】A
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【详解】
A．是一元二次方程，故正确；
B．整理后是一元一次方程，故错误；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故错误；
D．a为0时不是一元二次方程，故错误．
故选：A
3．若关于x的方程（a+2）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠﹣2C．a＞﹣2D．a＜2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：∵关于x的方程（a+2）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2．
故选：B．
4．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、该方程中含有两个未知数，它属于二元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D、由已知方程得到：3x-1=0，该方程属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．-1B．±1C．1D．0
【答案】A
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：由题意得：，，
解得，
故选：．
6．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0B．x2＝2x﹣1C．2y﹣x＝1D．x2+3＝
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程的定义进行分析即可．
【详解】
解：A、x+1＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、x2＝2x﹣1是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、含有2个未知数，2y﹣x＝1不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、含有分式，x2+3＝不是一元二次方程；故此选项不合题意．
故选：B．
7．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
故选：C．
题组B 能力提升练
1．若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．
【详解】
解：∵方程是“月亮”方程，
∴
∴，
∴
故选：D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】
A 、方程左边不是整式，故此选项错误；
B、是一元二次方程，此选项正确；
C、含有两个未知数，故此选项错误；
D、方程左边不是整式，故此选项错误；
故选：B．
3．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1B．m＝1C．m≥1D．m≠0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
4．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y2+x＝1B．x（x﹣1）＝x2﹣2
C．x2﹣1＝0D．x2+＝1
【答案】C
【分析】
含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可.
【详解】
解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C.
5．若关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】
将x=1代入方程求出a+b=-1，再代入代数式计算即可．
【详解】
将x=1代入方程，得a+b=-1，
∴=2020-（a+b）=2020-（-1）=2021，
故答案为：2021．
6．已知关于的一元二次方程有一个根是，则_______．
【答案】
【分析】
将代入方程，即可求得．
【详解】
将代入方程得
解得
故答案为：
7．若关于的方程是一元二次方程，则___________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【详解】
∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为﹣1．
题组C 培优拔尖练
1．若关于x的方程x2+mx-10=0有一个根为2，则m的值为（ ）
A．-3B．3C．±3D．10
【答案】B
【分析】
根据题意把x=2代入原方程，再进行求解，即可得出m的值．
【详解】
把x=2代入方程x2+mx-10=0得：
22+2m-10=0，
解得m=3，
故选：B．
2．关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）.
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】
先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案.
【详解】
解：，
解得：，
∵，，
∴，，
∵，
解得：，
∴，，
故选择：D.
3．若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为( )
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不能确定
【答案】C
【分析】
把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．
【详解】
∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A. 化简完后为，是一元二次方程；
B. 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
C. 化简完后为是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义；
D. ，没有注明a≠0，故不一定是一元二次方程.
故答案选A
5．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
【详解】
A、是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B、为二元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
故选D．
6．已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式2a2-6a+3的值是（ ）
A．6B．5C．12+213D．12-213
【答案】B
【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出a2-3a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根，
∴a2-3a-1=0，
整理得，a2-3a=1，
∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3
=2×1+3
=5，
故选：B．
7．已知x=1是一元二次方程x2+bx+1=0的解，则b的值为（ ）
A．0B．1C．-2D．2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+bx+1=0得关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入x2+bx+1=0
得1+b+1=0，解得b=-2．
故选：C．
课程标准
课标解读
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；
2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
1、理解并掌握一元二次方程的定义.
2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数