初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数随堂练习题

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专题03 有理数章末重难点题型（16个题型）

一、经典基础题
题型1 正负数意义及应用
题型2 有理数的相关概念
题型3 数集问题
题型4 利用数轴求两点间距离
题型5 有理数的大小比较
题型6 相反数的性质与求法
题型7 由绝对值求数
题型8 绝对值非负性的应用
题型9 有理数加减法乘除再认识
题型10 有理数加、减法运算的实际应用
题型11 有理数的乘除法在实际问题中的应用
题型12 新定义运算
题型13 有理数的简算
题型14 乘方的应用
题型15 新定义运算（乘方）
题型16 科学记数法与近似数
二、优选提升题

题型1 正负数意义及应用
【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
例1.（2022•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（　　）

A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．
【解答】解：由题意可知，﹣100表示的意思是发出100元红包．故选：A．
【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．
变式1.（2022•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（　　）
A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg
【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．
【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（10±0.3）kg的；
其质量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．故选：D．
【点评】利用正负数的意义，判别（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的意义是关键．
变式2.（2022·福建三明市·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：
－11，－6，－2，＋4，＋10
（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
【答案】（1）175个；（2）21个；（3）820个．
【分析】（1）用165加上超过的最大的数字+10，即可解题；
（2）用超过的最大数字+10，减去少于165最多的数字-11即可；
（3）先用，再将超过和不足165的所有数字相加计算即可．
【详解】解：（1）（个）
答：1分钟最多跳175个．
（2）10－（－11）＝21（个）
答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个．
（3）（个）
答：累计跳绳820个．
【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

题型2 有理数的相关概念
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
例1.（2022•东至县期末）下列说法中：
①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】有理数的分类：有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数，依此即可作出判断．
【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；
③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0，故错误；
⑤−π2是无理数，故错误；⑥237是无限循环小数，所以是有理数，故错误；
⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．
故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．
【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
变式1.（2022•日照七年级期末）下列说法正确的是（　　）
①任何一个有理数的平方都是正数 ②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【答案】解：①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；
②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确；
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；故选：D．
【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

题型3 数集问题
性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
例1．（2022·广西南宁市·七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：
，，，2020，0，，，66．
（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．
【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．
【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可．
【详解】解：（1）整数有：，2020，0，66，故答案为：，2020，0，66；
（2）负分数有：，故答案为：；
（3）非负整数有：2020，0，66，故答案为：2020，0，66．
【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键．
变式1．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
【答案】4．
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
变式2．（2022•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．
（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．
【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．
∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．
（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，
∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．
（3）∵5+5＝10，
∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．
【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．

题型4 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
例1. （2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．

【答案】6
【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．
【详解】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为6．
【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．
变式1.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）

A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
【答案】D
【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．
【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，
∵，∴点C所对应的数为，
∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
变式2.（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．

【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：

如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
题型5 有理数的大小比较
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
例1.（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
【答案】
【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可．
【详解】解：，，
∵ ，
∴．
【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键．
变式1.（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答
(1)把下列各数填在相应的括号内：
，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，
正有理数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
整数集合：｛ …｝．
(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“1，故选项A错误，不符合题意；
因为a＜0，b＞0，所以ab