2022-2023学年山东省临沂第十八中学高二上学期质量检测数学试题含答案

2022-2023学年山东省临沂第十八中学高二上学期质量检测数学试题

一、单选题

1．曲线在处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.

【详解】因，则，当时，，

由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，

所以切线的倾斜角为.

故选：C

2．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（    ）

A．6 B．26 C．4 D．14

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长.

【详解】解：根据椭圆的定义，

又椭圆上一点到焦点的距离等于6，

，则，

故选：D.

3．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ）

A．或1 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意得，解方程得或，再检验即可得答案.

【详解】解：因为直线和，

所以，解得或，

当时，直线和重合，不满足；

当时，直线和，满足平行.

所以

故选：B

4．数列满足，则等于（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】由递推公式求出前若干项，再由周期性可得.

【详解】由，

得

由上可知，数列的周期为3，所以.

故选：C

5．若抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】求出圆心到准线的距离，再利用准线和圆相切列方程求解即可.

【详解】圆的圆心为，半径为2，

抛物线的准线为，

圆心到准线的距离为，

因为圆与准线相切，所以有，解得或，

所以抛物线方程为或.

故选：B.

6．已知等差数列中，若，则的值为(   )

A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20

【答案】A

【分析】运用等差数列中若，则即可解决.

【详解】又

故选：A．

7．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】D

【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，

则，

因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，

，

所以.

故选：D

8．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.

【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，

由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，

设，则，，，

在中，，解得或m＝0（舍去），

从而有，中，，整理得，，

所以双曲线E的离心率为．

故选：B

二、多选题

9．已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可

【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等，

斜率必存在，设所求直线的方程为，

由已知及点到直线的距离公式可得：

，

解得或，

即所求直线方程为或.

故选：AC.

10．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ）

A．双曲线的实轴长为2

B．双曲线的一条渐近线方程为

C．

D．双曲线的焦距为4

【答案】ABD

【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.

【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，

实半轴长为1，实轴长为，A正确；

因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；

由于可能在的不同分支上，则有，C错误；

焦距为正确.

故选：ABD.

11．下列命题正确的是（    ）

A．若方程表示圆，则的取值范围是或

B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是

C．已知点在圆上，的最大值为1

D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为

【答案】ABD

【分析】利用一般式为圆的判定公式,可判定A选项；圆与轴相切可设出圆心坐标，再根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，构建参数方程解决，则可判定B选项；从几何意义角度解读为圆上的点与原点连线的斜率，则可知相切时取得最值，则可判定C选项;两圆相减可得公共弦的直线方程，再通过弦长公式计算即可，则可判定D选项.

【详解】若方程表示圆，则，即，

解得或，故A正确；

设圆心，则圆心到直线的距离为，

又圆与直线直线相切可得解得，即，

所以圆的标准方程是，故B正确；

由可得，

表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，

设切线为，则，显然不是方程的解，

故的最大值不是1，故C错误；

将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，

圆配方可得，

继而可知圆心，，

圆心到直线的距离，

所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确.

故选：ABD.

12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A，，，

当时，，，，故在上不是凸函数；

对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；

对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；

对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.

故选：BC

三、填空题

13．已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是       .

【答案】

【分析】求出直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角，从而可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求出直线的方程．

【详解】∵直线的斜率为

∴直线的倾斜角为

∵直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍

∴直线的倾斜角为，即直线的斜率为

∵直线过点

∴直线的方程为，即.

故答案为：.

14．已知等比数列中的各项均为正数，，则的值为        ．

【答案】10

【分析】由等比数列的性质可得，再根据对数的运算，即可求解.

【详解】由题意，等比数列中的各项均为正数，满足，

由等比数列的性质可得

所以，

故答案为：10.

15．已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为      ．

【答案】/

【分析】根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标.

【详解】分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为．

故答案为：

16．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是              .

【答案】或

【分析】令切线方程为、切点为并对曲线求导，由且得到有两个不相等的实根，即可求范围.

【详解】由题设，令切线方程为，而，

若切点为，则且，

所以，故有两个不相等的实根，

则，可得或.

故答案为：或

四、解答题

17．在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．

(1)求直线CD的方程；

(2)求四边形ABED的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出，由，由点斜式即可写出直线CD的方程；

（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，求出E坐标、直线AD的方程，即可求出E到直线AD的距离，再求出，即可求梯形面积.

【详解】（1）由，，∴直线CD的方程为，即；

（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，

直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.

故四边形ABED的面积为.

18．已知函数的图象在处的切线斜率均为.

（1）求，的值；

（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求导数，利用函数在处的切线斜率均为0，建立方程，即可求，的值；

（2）设切点，确定切线方程，代入点，即可得出结论．

【详解】（1），

函数的图象在处的切线斜率均为，

，

，.

（2）由（1），知函数，点不在曲线上

，

设切点为，则，

切线方程为

将点代入，可得，

切点为，切线方程为.

19．已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；

（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.

【详解】（1）解：依题意，，解得，

∴抛物线的方程为；

（2）解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程为，，，

由消去可得，

∵直线交抛物线于不同的两点，

∴，由韦达定理得，

∴.

20．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求点C到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线与平面所成角的大小；

（2）以向量的方法去求点C到平面的距离即可解决．

【详解】（1）取BC的中点O，取中点Q，连接OA，OQ.

以O为原点，分别以OB,OQ,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图：

则，

所以，

因为，且，

所以平面；

所以是平面的一个法向量，又，

设直线与平面所成角为，

则，

又因为，所以；

（2）因为，

则点C到平面的距离为．

21．已知等差数列为递增数列，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数λ的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）用基本量表示出=36和的关系式，解方程组可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）运用裂项相消法先求出数列和，代入不等式可得.

【详解】（1）依题意有：，

又等差数列为递增数列，

代入

（2）由（1）知：，

代入得：

综上所述：

22．已知椭圆：过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；

（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.

【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①

因为离心率，即，②

由①②解得，，

故椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为．

将直线的方程代入中，得，

设，，则，．

所以，，

所以

，

由，解得，

所以，，

因此．