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2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一上学期期中学业质量检测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一上学期期中学业质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，，，则的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得到，进而由补集和交集得到答案.
【详解】由题意得，
即.
故选：B．
2．已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．0或1
【答案】C
【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可.
【详解】因为，所以或.
当即时，，满足题意；
当即时，
若，则，满足题意；若，则，不满足题意；
综上，实数的值为或1.
故选：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，或，
所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值是2
C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件
D．“有些三角形的外角至少有两个钝角”的否定是“所有三角形的外角至多有两个钝角”
【答案】C
【分析】A选项，举出反例；B选项，基本不等式求解中等号成立的条件不满足；C选项，等边三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，从而得到C正确；D选项，根据命题的否定的概念得到D错误.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误．
对于B选项，，
令，即，方程无解，故等号不成立，B错误；
对于C选项，等边三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，
故“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，C正确；
对于D选项，该命题的否定是“任意三角形的外角最多有一个钝角”，D错误.
故选：C
5．若正实数，满足，则有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，正实数是正数，且，
①中，可得，所以是错误的；
②中，由，可得是正确的；
③中，根据实数的性质，可得是正确的；
④中，因为，所以是正确的，
故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】利用“函数”的定义逐项分析即得.
【详解】∵定义在上的奇函数满足：，且，都有，
∴为定义在上的奇函数，且为增函数，
①不是奇函数，所以①不是“函数”，
②在上单调递减，所以②不是“函数”，
③定义域不是，所以③不是“函数”，
④在上递增且为奇函数，故④为“函数”.
故选：D.
7．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后利用换元法转化为关于的一元二次函数，利用一元二次方程最值性质进行求解即可.
【详解】由得，设，则，且，
即，
则等价为，抛物线开口向下，对称轴为，
∵，∴当时函数取得最大值，
即，即函数的值域为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.
8．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需
综上：所以或，
故选：A．
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】求出各选项中函数、的定义域，结合函数相等的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则A满足要求；
对于B选项，定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数，B不满足要求；
对于C选项，与，两个函数的定义域为，
对应法则也一样，C满足要求；
对于D选项，函数的定义域为，
函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，D不满足要求.
故选：AC.
10．已知集合，集合，若，则a的取值可能是（ ）
A．2B．C．1D．0
【答案】BCD
【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.
【详解】解：集合，集合，
当时，，成立；
当时，，故或，解得或
综上a的取值可能是，，.
故选：BCD
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到，逐项判断.
【详解】解：因为，
所以，则，，
所以，
则，所以，即，
所以，所以，
故选：BCD
12．1837年，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”．由此引发了数学家们对函数性质的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：（表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．对于任意的有理数，都有
D．不存在三个点，使为正三角形
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性验证A，由函数的定义验证BC，根据正三角形的高，举特例判断D．
【详解】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则，
当则，即有，故是偶函数，正确；
B：由解析式知：或，即，正确；
C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确；
D：若存在为正三角形，则其高为1，边长为，所以当时成立，存在，D错误；
故选：ABC．
三、填空题
13．已知幂函数满足，则 ．
【答案】4
【分析】先求得的解析式，然后求得.
【详解】设，
则.
故答案为：.
14．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式
【答案】
【分析】分，和三种情况，结合已知，可得到函数解析式.
【详解】当时，，当时，，
当时，.
故答案为：
15．设是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】利用偶函数化简不等式，并得出单调性，然后分类讨论得不等式的解．
【详解】因为是上的偶函数，且在上单调递增，，
所以在上单调递减，，
不等式化为，则或，
所以或．
故答案为：．
16．设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数在上是减函数需满足每一段都是单调减函数且在交接点满足减函数.
【详解】由题意得函数在上是减函数，
所以当时单调递减，即二次函数对称轴，解得，
当时，此时单调递减，
还需要满足时的最小值大于时的最大值，
即，解得，
所以
故答案为：
四、解答题
17．若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围
【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
18．设集合，集合.
（1）若，求；
（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）化简集合，即得解；
（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.
【详解】（1）.
因为，所以，
因此；
（2），，
因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
因此有，解得.
【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）利用基本不等式计算可得；（2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1），，故，
所以．
，，
当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，．
（2）因为，且，
，
当且仅当，且时等号成立，取最小值，
，
当时，．
20．已知函数为定义域内的奇函数，且时，，
(1)求时，的解析式
(2)利用函数单调性定义，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最小值是；最大值是．
【分析】（1）由奇偶性定义求解析式；
（2）由单调性定义证明单调性，结合单调性求得最值．
【详解】（1）当时，，
所以由题意可得，．又因为为奇函数，
所以，；
（2），且，则
．
由，得，于是，
即．
所以，函数在区间上单调递增．
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值．在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是．
21．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
【答案】(1)．
(2)0.6元．
【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；
（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.
【详解】（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，
电力部门的收益为；
（2）依题意有，
整理得，
解此不等式组得．
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
22．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．
(1)令，求的定义域
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数定义域的概念计算即可；
（2）利用赋值法确定的奇偶性与单调性，后解不等式即可.
【详解】（1）因为定义域为，
所以有解得：，
所以的定义域为
（2）令，可得，即，
令，得，
即，是奇函数．
令，则，
且为奇函数，
，
在上单调递增．
由题意可知，
∴，
即不等式的解为．
一、单选题
1．设全集，，，则的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得到，进而由补集和交集得到答案.
【详解】由题意得，
即.
故选：B．
2．已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．0或1
【答案】C
【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可.
【详解】因为，所以或.
当即时，，满足题意；
当即时，
若，则，满足题意；若，则，不满足题意；
综上，实数的值为或1.
故选：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，或，
所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值是2
C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件
D．“有些三角形的外角至少有两个钝角”的否定是“所有三角形的外角至多有两个钝角”
【答案】C
【分析】A选项，举出反例；B选项，基本不等式求解中等号成立的条件不满足；C选项，等边三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，从而得到C正确；D选项，根据命题的否定的概念得到D错误.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误．
对于B选项，，
令，即，方程无解，故等号不成立，B错误；
对于C选项，等边三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，
故“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，C正确；
对于D选项，该命题的否定是“任意三角形的外角最多有一个钝角”，D错误.
故选：C
5．若正实数，满足，则有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，正实数是正数，且，
①中，可得，所以是错误的；
②中，由，可得是正确的；
③中，根据实数的性质，可得是正确的；
④中，因为，所以是正确的，
故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】利用“函数”的定义逐项分析即得.
【详解】∵定义在上的奇函数满足：，且，都有，
∴为定义在上的奇函数，且为增函数，
①不是奇函数，所以①不是“函数”，
②在上单调递减，所以②不是“函数”，
③定义域不是，所以③不是“函数”，
④在上递增且为奇函数，故④为“函数”.
故选：D.
7．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后利用换元法转化为关于的一元二次函数，利用一元二次方程最值性质进行求解即可.
【详解】由得，设，则，且，
即，
则等价为，抛物线开口向下，对称轴为，
∵，∴当时函数取得最大值，
即，即函数的值域为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.
8．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需
综上：所以或，
故选：A．
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】求出各选项中函数、的定义域，结合函数相等的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则A满足要求；
对于B选项，定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数，B不满足要求；
对于C选项，与，两个函数的定义域为，
对应法则也一样，C满足要求；
对于D选项，函数的定义域为，
函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，D不满足要求.
故选：AC.
10．已知集合，集合，若，则a的取值可能是（ ）
A．2B．C．1D．0
【答案】BCD
【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.
【详解】解：集合，集合，
当时，，成立；
当时，，故或，解得或
综上a的取值可能是，，.
故选：BCD
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到，逐项判断.
【详解】解：因为，
所以，则，，
所以，
则，所以，即，
所以，所以，
故选：BCD
12．1837年，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”．由此引发了数学家们对函数性质的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：（表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．对于任意的有理数，都有
D．不存在三个点，使为正三角形
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性验证A，由函数的定义验证BC，根据正三角形的高，举特例判断D．
【详解】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则，
当则，即有，故是偶函数，正确；
B：由解析式知：或，即，正确；
C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确；
D：若存在为正三角形，则其高为1，边长为，所以当时成立，存在，D错误；
故选：ABC．
三、填空题
13．已知幂函数满足，则 ．
【答案】4
【分析】先求得的解析式，然后求得.
【详解】设，
则.
故答案为：.
14．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式
【答案】
【分析】分，和三种情况，结合已知，可得到函数解析式.
【详解】当时，，当时，，
当时，.
故答案为：
15．设是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】利用偶函数化简不等式，并得出单调性，然后分类讨论得不等式的解．
【详解】因为是上的偶函数，且在上单调递增，，
所以在上单调递减，，
不等式化为，则或，
所以或．
故答案为：．
16．设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数在上是减函数需满足每一段都是单调减函数且在交接点满足减函数.
【详解】由题意得函数在上是减函数，
所以当时单调递减，即二次函数对称轴，解得，
当时，此时单调递减，
还需要满足时的最小值大于时的最大值，
即，解得，
所以
故答案为：
四、解答题
17．若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围
【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
18．设集合，集合.
（1）若，求；
（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）化简集合，即得解；
（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.
【详解】（1）.
因为，所以，
因此；
（2），，
因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
因此有，解得.
【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）利用基本不等式计算可得；（2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1），，故，
所以．
，，
当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，．
（2）因为，且，
，
当且仅当，且时等号成立，取最小值，
，
当时，．
20．已知函数为定义域内的奇函数，且时，，
(1)求时，的解析式
(2)利用函数单调性定义，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最小值是；最大值是．
【分析】（1）由奇偶性定义求解析式；
（2）由单调性定义证明单调性，结合单调性求得最值．
【详解】（1）当时，，
所以由题意可得，．又因为为奇函数，
所以，；
（2），且，则
．
由，得，于是，
即．
所以，函数在区间上单调递增．
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值．在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是．
21．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
【答案】(1)．
(2)0.6元．
【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；
（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.
【详解】（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，
电力部门的收益为；
（2）依题意有，
整理得，
解此不等式组得．
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
22．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．
(1)令，求的定义域
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数定义域的概念计算即可；
（2）利用赋值法确定的奇偶性与单调性，后解不等式即可.
【详解】（1）因为定义域为，
所以有解得：，
所以的定义域为
（2）令，可得，即，
令，得，
即，是奇函数．
令，则，
且为奇函数，
，
在上单调递增．
由题意可知，
∴，
即不等式的解为．
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