2022-2023学年福建省泉州第一中学高二上学期暑假返校数学试题含答案

2022-2023学年福建省泉州第一中学高二上学期暑假返校数学试题

一、单选题

1．在复平面内复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限.

【详解】解：，

故复数对应点的坐标为，

故复数对应点在第二象限.

故选：B.

2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

572  029  714  985  034  437  863  964  141  469

037  623  261  804  601  366  959  742  671  428

据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（    ）

A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95

【答案】C

【分析】应用列举法写出所有含0，1至多1个的随机数，利用古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】20组随机数中含0，1至多1个的随机数为：572，029，714，985，034，437，863，964，469，037，623，261，804，366，959，742，671，428共18组.

所以该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为

故选：C

3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量与投影之间的关系可知在方向上的投影为，进而根据数量积的几何意义即可求解.

【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，

故选：C

4．先把一正六面体的六个面分别写上数字1到6，然后任意抛掷一次，把它与地面接触的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．A，B，C两两相互独立

【答案】C

【分析】根据古典概型求解概率判断A，B，C选项，利用相互独立的公式验证D选项

【详解】由题意，，，，

所以，同理，，

由，则，故A错误；

由，则，而，故B错误；

由，则，故C正确；

由A选项中，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误.

故选：C

5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】延拓过点三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择.

【详解】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：

对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；

对：MC1与是相交直线，所以A不正确；

对：因为//，，//，

又容易知也相交，

平面；平面，

故平面//平面

故选：.

【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题.

6．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果

【详解】因为，

其中，，

由于函数的图象关于对称，所以，

即，化简得，

所以，即，

所以，

故选：C.

7．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（  ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】A

【详解】由，得，

即，

所以，

设D为AB的中点，则，故；

因为，

所以，

所以，

设BC的中点为E，同上可知，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．

所以P是的外心．选A．

【点睛】三角形“四心”的向量表示

①在中，若或，则点是的外心；

②在中，若，则点是的重心；

③在中，若，则直线过的重心；

④在中，若，则点是的垂心；

⑤在中，若，则直线通过的内心．

8．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题.

【详解】，

，

∴，即，为锐角，

∴，又，

由正弦定理可得，

所以

，其中，，

因为为锐角三角形，

所以，则，

即：，

所以，又，

∴，即，

故的周长的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．对于任意两个向量，下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】AC

【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，显然正确；对于B，当为非零向量，且时，显然，B错误；

对于C，，C正确；对于D，向量无法比较大小，D错误.

故选：AC.

10．下列命题中正确的是（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数满足，则

【答案】ACD

【分析】利用复数分类可判断AB；利用，分、讨论可判断C；利用复数的分类可判断D.

【详解】设复数，是虚单位.

对于A，由得，则，所以A正确；

对于B，取，可得，所以B不正确；

对于C，由，故ab=0,

若则，，所以

若，则，所以C正确；

对于D，因为，由得，，所以D正确.

故选：ACD.

11．已知总体划分为三层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，得到各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则下列判断正确的是（    ）

A．

B．

C．记第一层的每一个数据为（…），则有

D．

【答案】BCD

【分析】根据均值、方差的定义求解判断．

【详解】，A错，B正确．

，

所以，C正确；

，

所以

D正确．

故选：BCD．

12．已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（    ）

A． B．的面积为

C． D．在的外接圆上，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】先由余弦定理算出，再计算面积，验证B选项，在中，利用余弦定理求验证A选项，用等面积法，求验证C选项，用正弦定理表示，，结合三角函数性质验证D选项.

【详解】解：在中，由余弦定理得，

因为，所以.

所以，故B错误；

在中，，所以，故A正确；

因为为的角平分线，

由等面积法得，

整理得，解得，故C正确；

在的外接圆上，如图

则，

所以在中，记，，由正弦定理得，，又，

所以

，其中，

又因为，所以的最大值为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.

三、填空题

13．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝        .

【答案】

【解析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.

【详解】,

.

故答案为：

【点睛】本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.

14．若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是        ．

【答案】

【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.

【详解】解：由，得．

又与的夹角为钝角，

∴，得，

若，则，即．

当时，与共线且反向，不合题意．

综上，k的取值范围为，

故答案为：．

15．若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用余弦函数的单调性得出不等关系．

【详解】函数的单调递增区间为，，

则，，

解得，，又由，且，，得，所以．

故答案为：．

16．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是           ．

①勒洛四面体被平面截得的截面面积是

②勒洛四面体内切球的半径是

③勒洛四面体的截面面积的最大值为

④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

【答案】③④

【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断①，③；求出勒洛四面体内切球的半径判断②，④作答.

【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得，

勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形，

弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图，

因此，截面面积为：，①不正确，③正确；

由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图，

正外接圆半径，正四面体的高，

令正四面体的外接球半径为，在中，，解得，

因此，勒洛四面体内切球半径为，②不正确，

勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，

所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，④正确.

故答案为：③④

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

四、解答题

17．在中，，．

(1)设，若f(A)＝0，求角A的值；

(2)若对任意的实数t，恒有，求面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)利用平面向量的数量积公式、二倍角公式的逆用和配角公式化简函数表达式，再通过解三角方程进行求解；

(2)利用平面向量的模长公式进行化简，利用平面向量的垂直得到不等关系，再利用三角形的面积公式进行求解．

【详解】（1）由题知：，

∵f(A)＝0，∴，

又，，

，.

（2）由，得，即，

则，

故对任意的实数t，恒有，

故，即BC⊥AC，

，，∴BC＝，

∴的面积S＝BC·AC≤，

∴面积的最大值为.

18．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)设为的中点，连接、，则、，利用面面平行的判定定理即可证明；

(2)由（1）知是异面直线与所成角，解三角形得，结合三棱锥的体积公式计算即可.

【详解】（1）设为的中点，连接，，

则，，

又平面，平面，平面，

所以平面，平面，

又平面，

所以平面平面，又平面，

所以平面；

（2）由（1）知，是异面直线与所成角，所以，

在中，因为，.

所以，

因此.

19．读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.

(1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；

(2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；

(3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.

（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）

【答案】(1)75%分位数是，众数是3

(2)3.6

(3)

【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可；

(2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数；

(3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可.

【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，

设女生一周阅读时间的75%分位数为，，

解得；

（2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数

由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数

所以估计总样本的平均数

（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，

女生有（人）

若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，

女生有5人，记为，，，，，

则样本空间，

共有15个样本点.

记事件“恰好一男一女”，则

故所求概率.

20．如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.

(1)证明：；

(2)设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，由三角形的中位线与已知条件可知，，，证得平面，从而得到；

（2）根据几何关系得到平面、平面、平面，从而得出为二面角的平面角，是和平面所成的角，再根据解三角形知识求出、的长，进而得到的大小.

【详解】（1）取的中点，连接，.

因为，分别是，的中点.

所以，

又因为，

所以，，

又，

平面.

又平面，所以.

（2）因为，，，所以平面，

所以为二面角的平面角，

又因为，，所以平面，.

连接，则

在中，

因为，所以平面.

故是和平面所成的角，

即，且，

在中，，，

所以，

故所求二面角的大小为.

21．目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.

(1)求有员工被调剂的概率；

(2)求至少有一家店停业的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设事件“家小店有名员工请假”，“家小店有名员工请假”，其中，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式即可求出有员工被调剂的概率；

(2)记事件“至少有1家店停业”，则，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式计算即可.

【详解】（1）记事件“家小店有名员工请假”，

“家小店有名员工请假”，其中，

由题设知，事件，相互独立，且，

，

记事件“有员工被调剂”，则，

且，互斥，所以，

故有员工被调剂的概率为；

（2）记事件“至少有1家店停业”，则，

且，，互斥，

所以，

故至少有一家店停业的概率为.

22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

(1)求角B；

(2)若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案；

（2）利用余弦定理结合，平方，将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数得性质即可得出答案.

【详解】（1）解：因为

所以，

则，

即，

所以，

又，则，

所以，即，

由，得，

所以，

所以；

（2）解：因为，

所以，

因为D为AC的中点，

所以，

则，

因为，

所以，

，

则

，

因为，所以，

所以，

则，所以，

所以.