2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为A． B． C． D．【答案】B【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题．2．在等比数列中，且，则（    ）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；所以，因为，所以.故选：C.3．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．【详解】因为是的中点，是的中点，，．故选：B4．如图，直线是曲线在处的切线，则= A． B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由图可知又直线过，即故选5．在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ）A．10 B．8 C． D．【答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为.故选：C6．已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为（    ）A．10 B．3 C． D．【答案】C【分析】首先求出，再根据点到的距离计算可得.【详解】解：因为、，所以，又平面的一个法向量，所以点到的距离.故选：C7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（    ）A．离心率 B．的最大值为C．的面积的最大值为 D．的最小值为【答案】C【分析】根据椭圆方程求出、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的性质判断B，设，则，根据的有界性求出面积的最大值，即可判断C，根据向量模的坐标表示及二次函数的性质判断D.【详解】解：椭圆，则，，所以，则离心率，故A正确；由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得的最大值为，故B正确；由，，设，则，因为，所以，当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C错误；因为，，所以，所以，即的最小值为，当且仅当在上、下顶点时取最小值，故D正确；故选：C8．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，即，有两个不同的交点，恒过定点，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，画出它们的图像，利用数形结合法即可求出的取值范围．【详解】解：设，，即，有两个不同的交点，恒过定点，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，它们的图像如图所示：当过点时，它们有两个交点，此时，当与上半部分圆相切时，有一个交点，此时，由图形可知，若，有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是为.故选：B． 二、多选题9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ）A．数列是递增数列 B．C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14【答案】BCD【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列中，，，，，公差，数列是递减数列，A错误 ，，B正确.，数列是递减数列，当时，最大,C正确.,,.当时，n的最大值为14,D正确.故选:BCD.10．下列求导运算正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】利用导数的运算求解判断.【详解】A. 因为，所以，故正确；B.因为，所以，故错误；C. 因为，所以，故正确；D. 因为，所以，故正确.故选：ACD11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则C．两个不同的平面的法向量分别是，，则D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则【答案】AC【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则，所以，即，故A正确；对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：AC12．已知为坐标原点，，是抛物线上的两点，为其焦点，．若到抛物线的准线的距离为，则下列说法正确的是（    ）A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为B．的周长的最小值为C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为D．若，则直线的斜率为【答案】ABD【分析】根据到准线的距离为，求出，可得焦点和准线方程，设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，即可判断A；利用抛物线的定义可求出周长的最小值，即可判断B；利用外接圆与抛物线的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积，即可判断C；由，可知直线过焦点，设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量的线性关系，求出点坐标，可求得直线斜率，从而判断D．【详解】解：抛物线的焦点为，准线为，因为到准线的距离为，所以，所以抛物线，所以，准线为，对于A，若直线过点，设直线，联立，消去得，设，，则，，所以，故A正确；对于B，过作，垂足为，则，所以周长的最小值为，故B正确；对于C，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为．因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径为，所以圆的面积为，故C错误；对于D，由，可知直线过焦点，设直线， 联立，消去得，设，，则，，①又，可得，②①②联立，解得，所以，所以直线的斜率为，故D正确；故选：ABD． 三、填空题13．一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是______．【答案】【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得，再结合双曲线的定义求方程.【详解】圆N：的圆心，半径，∵，∴点在圆N外，则圆P包含圆N，设圆P的半径为，由题意可得：，即，可得，故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，可得，则，故动圆圆心P的轨迹方程是.故答案为：.14．如图所示，二面角为，，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若，，，则的长度为___________.【答案】【分析】根据向量线性运算可知，结合向量数量积的运算律可求得，由此可得长.【详解】，，，，.故答案为：.15．已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．【答案】或【分析】根据导数的几何意义可求出结果.【详解】设切点为，因为，所以，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，解得或，所以切线方程为或.故答案为：或 四、双空题16．已知数列的前n项和为，且，若点在直线x－y＋2＝0上，则______；______．【答案】          【分析】根据题意得，再根据等差数列的求和公式可得，利用裂项可求出.【详解】因为点在直线x－y＋2＝0上，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.由，得.故答案为：；. 五、解答题17．已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数，∴的定义域为，，∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.18．已知数列的前项和为，且，，数列是公差不为的等差数列，满足，且，，成等比数列．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据，作差得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）解：因为，，当时，，当时，，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，设等差数列的公差为，因为，，成等比数列则，又，所以，解得或（舍去），所以.（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以，所以.19．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；(2)若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可【详解】（1）由题意，双曲线渐近线方程为：，所以，所以双曲线E的标准方程为：．故双曲线故双曲线的右焦点为，所以，，所以．（2）由题意联立，得，又所以．因为直线过抛物线的焦点，所以．O到直线的距离，．20．四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系．所以，，，，， 设平面的一个法向量为， ，即， 因为，所以， 又因为平面，所以平面．（2）解：设直线与平面所成角为，因为，平面的一个法向量为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．21．已知圆的圆心在直线上，且过点，．(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求切线的方程；(3)过点作圆的割线，交圆于，两点，当时，求的直线方程．【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）依题意设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得到圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出的值，即可得解；（3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可.【详解】（1）解：依题意设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，所以，解得，所以.（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程，即．则，解得．切线方程为，即．综上可得切线方程为：或．（3）解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或，所以直线的方程为或.22．已知椭圆C：的离心率，短轴长为2．(1)求椭圆C标准方程；(2)设直线l不经过椭圆C上顶点P且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率和为－1．证明：直线l过定点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出，可得椭圆C标准方程；（2）当直线与轴垂直时，经计算不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆方程联立，设，，得到和，再根据斜率之和为，得到，代入可得直线所过定点.【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆C标准方程为.（2）设直线与直线的斜率的斜率分别为和，若直线与轴垂直，设，则且，则，，因为，则，解得，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线：，联立，消去并整理得，则，得，设，，则，，所以，所以，得，代入，得，所以当时，直线：过定点.