山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密启用前2022-2023学年度上学期质量检测高二年级数学试题考试时间：120分钟     满分：150分一、单选题1．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）A．     B．     C．     D．2．经过抛物线的焦点且平行于直线的直线l的方程是（    ）A．     B．     C．     D．3．若等差数列满足，则的值是（    ）A．20     B．36     C．24     D．724．椭圆上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足，则（    ）A．6     B．4     C．2     D．5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）A．     B．     C．     D．6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）A．     B．     C．     D．7．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ）A．     B．8     C．     D．58．已知数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ）A．     B．     C．     D．二、多选题9．已知双曲线，下列对双曲线C判断正确的是（    ）A．实轴长是虚轴长的2倍     B．焦距为4C．离心率为     D．渐近线方程为10．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ）A．若两圆外切，则B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则11．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ）A．     B．     C．     D．12．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）A．     B．     C．     D．三、填空题13．已知椭圆的上顶点为A，左顶点为B，则直线的斜率为______________．14．各项均为正数的等比数列，若，则______________．15．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为______________．16．已知曲线，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为______________．四、解答题17．直线l经过两直线和的交点．（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程；（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程．18．已知函数．（1）求的解析式；（2）求在处的切线方程．19．已知数列是等差数列，其中，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．20．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，O为的中点．（1）求直线与平面所成角的余弦值；（2）求B点到平面的距离．21．已知数列的前n项和，其中．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若存在且，使得成立，求实数的最小值．22．已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，求证：为定值．期末考试数学答案一、单选题1．【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．故选：B．2．【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线的斜率，由点斜式方程即可求出答案．【详解】因为抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为，所以所求直线l的方程为，化为一般式，得．故选：A．3．【答案】C【分析】利用等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，将两个已知条件分别转化为与，求得公差和，题目所求．【详解】由和，得，由和，得，故等差数列的公差为1，∴．又，∴，则．故选：C．4．【答案】C【分析】根据求出左焦点F的坐标，然后设P的坐标，根据两点间的距离公式求出P到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P的坐标，由得到M为的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【详解】解：由椭圆得，左焦点，设，则又解得或（舍去）；又P在椭圆上，则将代入到椭圆方程中求出，所以点；由点M满足，则得M为中点，根据中点坐标公式求得，所以故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．5．【答案】D【解析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案．【详解】，，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得．故选：D．6．【答案】A【分析】将用表示，用表示，再利用向量法求解即可．【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）中，，因为M，N分别为的中点，所以，且，则，所以，即直线和夹角的余弦值为．故选：A．7．【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答．【详解】抛物线，焦点，准线，直线的方程为，由消去y并整理得：，设，则，弦中点Q的横坐标，过点Q作准线l的垂线，垂足为点D，如图，令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，即有，，当且仅当点与P重合时取等号，所以的最小值为．故选：B．8．【答案】C【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为2，公比为2的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得k的取值范围．【详解】解：依题意，当时，，则，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即，所以，所以，所以k的取值范围是．故选：C二、多选题9．【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可．【详解】∵双曲线，∴．∵，∴．∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为．B正确；离心率为，C错误；渐近线方程为，D正确．故选：BD10．【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案．【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径．设圆为圆，圆的圆心为，半径．．A选项，若两圆外切，则，A选项正确．B选项，由两式相减并化简得，则,此时，满足两圆相交，B选项正确．C选项，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以，即，则解得或，C选项错误．D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D，根据圆的几何性质可知，所以，D选项错误．故选：AB11．【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析，分别求出定点M到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案．【详解】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．A．因为，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；C．因为，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC12．【答案】AD【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，再由导数为3求解．【详解】解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，则，解得，所以，即．对于函数，则，又，所以，又，所以．故选：AD三、填空题13．【答案】【分析】依题意可得，即可得到上顶点A，左顶点B的坐标，即可求出的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为，所以，即，所以椭圆的上顶点为，左顶点为，所以；故答案为：14．【答案】2【解析】根据等比数列性质化简为，开方即可．【详解】解：由各项均为正数的等比数列得所以．故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．15．【答案】【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案．【详解】圆的圆心为，半径，设，所以切线长为，以D为圆心，半径为的圆的方程为，即①，圆即②，由①-②得直线的方程为，即．故答案为：16．【答案】【分析】设切点为，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a．【详解】设切点坐标为．由题意，知，切线的斜率为①,所以切线的方程为②．将点代入①式，得，解得或．分别将和代入②式，得和．由题意，得，得．故答案为：．四、解答题17．【答案】（1）（2）或【分析】（1）求出交点坐标，设直线l的方程为：，代入交点即可求出；（2）当直线l的斜率不存在时，符合条件，当l斜率存在时，设直线的方程为：，利用点到直线的距离公式列方程求解．（1）直线方程与方程联立，得交点坐标为设直线l的方程为：，代入交点得，所以l的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，得l的方程为：，符合条件．当l斜率存在时，设直线l的方程为：，根据，解得，所以直线l的方程为．综上所述，l为或18．【答案】（1）；     （2）．【分析】（1）对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解．（2）利用（1）的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程．【详解】（1）由求导得：，又，则，解得，所以的解析式为．（2）由（1）得，，则，在处的切线方程为，即，所以在处的切线方程是：．19．【答案】（1）；     （2）．【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式：（2）由（1）有，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n项和公式求．（1）由题设，，可得，所以的通项公式．（2）由（1）知：，所以，令，所以．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面．以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求；（2）利用在平面的法向量上的投影计算求解．【详解】解：（1）在中，，O为的中点，所以．又因为侧面底面，平面平面平面，所以平面．在中，，所以．在直角梯形中，O为的中点，所以，所以．以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．因为，所以平面．所以为平面的一个法向量，，所以与平面所成角的余弦值为．（2）因为，设平面的一个法向量为，则．取，得．则B点到平面的距离．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法．21．【答案】（1）；     （2）3．【分析】（1）根据给定前n项和，利用与的关系求解作答．（2）利用错位相减法求出，再借助数列单调性求出最小值作答．（1）依题意，当时，，而满足上式，所以数列的通项公式是．（2）由（1）知，，，则有，两式相减得：，于是得且，令，则，即，当时，数列是递增数列，即，因此，，所以实数的最小值是3．【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．22．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）由离心率得，由椭圆过一点．得，两者结合可解得a，b，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l方程为，设，直线方程代入椭圆方程后可得，由，把用表示，然后计算并代入即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）易知直线l斜率存在，设其方程为，设，由，消元y整理得，∴，把代入得，即，由，得，由，得，∴，∴为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，把它代入题中需求的量化简可得结论．