2022-2023学年陕西省洛南中学高二上学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省洛南中学高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．设x，y满足约束条件则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出可行域，根据简单线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域如图，

由可得，

所以当直线截距越大时，越小，

故直线过点时z最小，

即

故选：B

3．对于任意实数，，，，以下四个说法：①，则；②若，，则；③若，，则；④，则.其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】由不等的基本性质，判断每个说法的正误.

【详解】对于①，，所以，得，①正确，

对于②，由不等式的同向可加性，，，则，②正确，

对于③，不等式有同向同正才有可乘性，举出反例，，但是，所以③错误，

对于④，可以举出反例，但，④错误，

故选：B.

4．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由正弦函数确定命题的真假，再由二次函数的知识确定命题的真假，根据且或非命题真值表确定正确选项即可.

【详解】由于，故存在，使得成立，所以命题为真命题；

由知，当时，不等式不成立，所以命题为假命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：C

5．“”是“成等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用等比数列等比中项的性质判断即可.

【详解】若成等比数列，则；

若，令，满足，

但此时不构成等比数列.

故选：C

6．设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据等差数列的前项和以及等差数列的性质可得，，进而可得最小.

【详解】由等差数列前项和公式可得:

，所以，

，所以，故，

所以等差数列的前项为负数，从第项起为正，故前项的和最小，

所以的值为，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用，得出，进而可得最小.

7．下列说法正确的是（　　）

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．命题“∃x0∈R，x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题

D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

【答案】D

【分析】对于A，根据否命题的概念可得到结论; 对于B，特称命题的否定是全称命题；对于C，逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；对于D，利用“或”命题真假的判定方法即可得出．

【详解】对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；

对于B，命题“∃x0∈R，x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；

对于C，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；

对于D，命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．

故选：D．

【点睛】这个题目考查了四种命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件.

8．已知等比数列满足,,则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.

【解析】本题主要考查等比数列性质及基本运算.

9．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分2种情况讨论：当时，易得不等式成立，当时，结合二次函数的性质分析，求出的取值范围，综合2种情况可得答案．

【详解】解：根据题意，对于不等式，

当时，不等式为，恒成立；

当时，则有，解可得，

综合可得：，即的取值范围为，

故选：B．

10．在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（    ）

A．m B．m

C．m D．m

【答案】C

【分析】利用正切三角函数，首先求出的长，再利用正切三角函数求出，最后代入计算即可.

【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为.

则,则，

,

塔高,

故选：C.

11．设数列的前项和为，若对于都有，，成等差数列，且，则（　　）

A． B．512 C．1024 D．

【答案】A

【分析】根据可证得数列为等比数列，公比为，根据可求得结果.

【详解】由题意：，则

即：    

可知数列为公比为的等比数列

本题正确选项：

【点睛】本题考查求解等比数列中的项，关键是通过前项和的关系证得数列为等比数列，从而可利用等比数列通项公式求得数列中的项.

12．在中，若，，则面积的最大值为（　　）

A． B． C．12 D．

【答案】B

【分析】根据向量运算可知，，根据余弦定理可求得；列出三角形面积公式，通过基本不等式求解出最大值.

【详解】，即

，即

又，则

又（当且仅当即时取等号）

则

本题正确选项：

【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的最值问题，关键是能够通过通过余弦定理、三角形面积公式，构造出符合基本不等式的形式，通过基本不等式求解最值.

二、填空题

13．在等差数列中，，，则数列的公差      .

【答案】2

【分析】由等差数列的通项公式求解，

【详解】由题意得，解得，

故答案为：2

14．不等式的解集为              .

【答案】

【解析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，求解即可得到不等式的解集．

【详解】解：不等式可以转化为，

等价于，

，

，

不等式的解集为．

故答案为：．

15．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则      .

【答案】2

【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．

【详解】将，利用正弦定理化简得：，

即，

∵，∴，

利用正弦定理化简得：，

则．

故答案为：2.

16．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为        万元.

【答案】18

【详解】设生产甲、乙产品分别x，y吨，利润z万元，

由表格得，，在平面直角坐标系中作出可行域，如图，

目标函数，可看作直线，

当直线过点时，最大，即当，时，最大为18.

故答案为：18.

三、解答题

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.

(1)若，且的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理求解，

（2）由余弦定理求解，

【详解】（1）由正弦定理，

得.

（2）因为，，

由余弦定理得，

得，即

解得或（舍去）

18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]

【分析】（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；

（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。

【详解】（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，

解得1＜x＜3；

若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．

∵p∧q为真命题，则p真且q真，

∴实数x的取值范围是（2，3）

（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a

设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}

∵p是q的必要不充分条件，∴BA．

∴，解得1≤a≤2

∴实数a的取值范围是[1，2]

【点睛】本题主要考查复合命题的真假判断以及充分、必要条件与集合之间的包含关系应用，意在考查学生的转化能力与数学计算能力，属于中档题．

19．在等差数列中，，在正项等比数列中，．

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求出；

（2）利用错位相减法和等比数列的前n项和求和公式即可求出．

【详解】（1）等差数列的公差设为，

可得，即；

在正项等比数列的公比设为，

，可得，即

；

（2），，

，

两式相减可得，

化简可得．

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和求和公式．熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式是解题的关键．

20．已知关于的不等式的解集为或

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，结合韦达定理即可求得答案；

（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，即可求得答案.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以1和是方程的两个实数根且，

所以，解得，即．

（2）由（1）知，于是有，

故，

当且仅当，结合，即时，等号成立，

依题意有，即，

得，即，

所以的取值范围为．

21．在中，内角的对边分别为，已知

（1）求；

（2）若，求的周长的最大值．

【答案】（1）；（2）18

【分析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）利用余弦定理构造关于的等式，利用可求得的最大值，从而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：

即：

即：    

（2）由余弦定理得：

又，，则

当且仅当时取等号

的周长的最大值为

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值问题的求解；求解周长最值问题的关键是能够利用余弦定理构造关于边长关系的等式，从而利用基本不等式求得边长之和的最值.

22．已知前项和为的数列的各项均为正数，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记数列的前项和为，若称使得为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和.

【答案】(1)

(2)4083

【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据等差数列的性质求解，

（2）根据对数的运算性质得，即可根据得，由等比数列求和公式，结合分组求和即可求解.

【详解】（1）当时，，解得.

当时，，

整理为,即，

由，有，

可得数列是首项为1，公差为2的等差数列

有，

故数列的通项公式为

（2），

.

若为整数，只需要，又由，可得

则区间内所有“优化数”的和.