2022-2023学年陕西省商洛市洛南中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省商洛市洛南中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.

【详解】因为复数，

其共轭复数为，对应的点是，

所以位于第一象限.

故选：A

【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2．函数（为自然对数的底数），则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先求出，再求出即可．

【详解】∵，

∴，

∴．

故选：B．

3．定积分的值为(　  　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：=.故选C.

【解析】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.

4．某观光旅游团计划在“五一”期间，安排游人去洛南县的音乐小镇、仓颉小镇、玫瑰小镇、花博园、仓颉园五个景区游览.若玫瑰小镇不排在首末位置，音乐小镇和花博园必须相邻，则不同的游览顺序方案共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【分析】应用捆绑法确定音乐小镇和花博园的游览方案数，再确定特殊元素（玫瑰小镇）的游览方案数，最后把剩余景区作全排列，应用分步乘法求出不同的游览顺序方案数.

【详解】把音乐小镇和花博园捆绑，有种方案，看作一个景区M，

再将M与仓颉小镇、玫瑰小镇、仓颉园作为4个景区，依次对应4个游览位置（排一排），

中间2个位置选一个作为玫瑰小镇的游览有种方案，

最后把M与仓颉小镇、仓颉园作全排有种方案，

综上，不同的游览顺序方案共有种.

故选：B

5．若某射手射击所得环数的概率分布列为

则（    ）

A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51

【答案】A

【分析】由分布列的性质概率和为1求解即可.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查离散型随机变量的概率的求法，考查分布列有关性质的应用，属于简单题.

6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

【答案】A

【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.

【解析】条件概率．

7．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则

A．1 B． C． D．-1

【答案】D

【分析】求出曲线在点处切线的斜率，求出函数的导函数，根据两直线平行的条件，令， ，求出；

【详解】，所以，又直线得斜率为，由两直线平行得：，所以

故选D

【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题．

8．展开式中的系数为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．

【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，

故选：C．

9．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

【答案】C

【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

10．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，，计算概率解得答案.

【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，，

故恰好投中两次的概率，

解得.

故选：C.

【点睛】本题考查了根据概率求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11．甲、乙、丙、丁，戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖，三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息，则（    ）

A．丁一定获得一等奖 B．丁一定获得二等奖

C．乙、丁的获奖情况一定不一样 D．乙、丁的获奖情况可以相同

【答案】D

【分析】先由题意分类讨论乙、丙两人的成绩，再得出甲、戊的成绩，对选项逐一判断

【详解】因为甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩，所以乙、丙的成绩可能是一个一等奖和一个二等奖或者两个都是二等奖．又因为甲、戊的成绩一样，

当乙、丙一个一等奖和一个二等奖时，则甲、戊一定是二等奖，丁的获奖情况是一等奖，此时乙、丁的获奖情况可以相同也可以不同；

当乙、丙两个都是二等奖时，则甲、戊一定都是一等奖，丁为二等奖，此时乙、丁的获奖情况相同．

故选：D

12．设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.

【详解】依题意，令函数，则，

因，于是得时，时，

从而有在上单调递减，在上单调递增，

因此得：，而，即f(x)不恒为0，

所以恒成立.

故选：A

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

二、填空题

13．若，则         .

【答案】

【分析】复数乘方运算化简复数，进而求模即可.

【详解】，故.

故答案为：

14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有             种．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．

故答案为：.

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．

故答案为：.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．

15．设直线与函数，的图象分别交于点、，则当达到最小时的值为          .

【答案】

【分析】令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得解.

【详解】令，其中，则，.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，即，

故.

故答案为：.

16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是      ．

【答案】

【详解】

(i)当a=0时,f(x)=−3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点，舍去．

(ii)当a≠0时,f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−),令f′(x)=0,解得x=0或2a.

①当a<0时,<0,当x<或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当<x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增．

∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点．

∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则，无解，舍去．

②当a>0时,>0,当x>或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0<x<时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减．

∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点．

∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则f(>0,即−+1>0，a>0，解得a>2.

综上可得：实数a的取值范围是(2,+∞).

故答案为(2,+∞).

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

三、解答题

17．已知．

(1)求z的虚部；

(2)求．

【答案】(1)-4

(2)

【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z，即可得到虚部.

（2）计算出，利用模的公式计算即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以z的虚部为－4．

（2）因为，所以．

所以，

故．

18．已知的展开式中，第项和第项的二项式系数相等.

（1）求；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质及组合数公式得到方程，求得的值．

（2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．

【详解】解：（1）由题意，

，

整理得

解得，或（舍）

；

（2）二项展开式通项公式为，

令，解得，

故所求展开式中的常数项为.

19．已知是的极值点.

(1)求实数的值；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）根据极值的定义进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1），

由题意得：是方程的根，

，得，

，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

所以是函数的极值点，满足题意，

实数的值为5；

（2）由（1）得，，

当时，，当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，

又，

在上的值域为.

20．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．

(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析.

【分析】（1）由题意，稿件被录用或者稿件能通过两位初审专家的评审，或者稿件恰能通过一位初审专家的评审且能通过复审专家的评审，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式，即得解；

（2）由题意，由二项分布的概率公式和期望公式，即得解

【详解】（1）记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

 B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

 C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

 D表示事件：稿件被录用，则 D=A+BC,

= =

.

（2）由题意，，且

分布列如下：

21．已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程.

【答案】(1)

(2)，或

【分析】（1）根据给定条件列方程，求出a，b即可作答.

（2）先判断直线的斜率不为0，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、三角形面积列出函数式，利用基本不等式求解作答.

【详解】（1）由，得，

所以椭圆C的方程为，

把点的坐标代入上式，得，可得，

所以，，故椭圆C的方程为.

（2）由（1）知焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，

则O，A，B三点不能构成三角形，

所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，

联立方程组，消去x，得，

方程的判别式，

设，，则，，

.

令，则，

当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为.

令，解得，

所以此时直线l的方程为或.

【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间；

（2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果.

【详解】（1）当时，，则，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由得：，即，

令，则定义域为，；

令，恒成立，

在上单调递增，又，，

，使得，即，；

则当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，

，

由此可得图象如下图所示，

恒过定点，斜率为，

若恒成立，结合图象可知：必有，解得：，

实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为图象恒在直线上方的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.