2022-2023学年陕西省汉中市镇巴中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省汉中市镇巴中学高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．集合A=，B=，则=【】

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合补集与交集求结果.

【详解】因为 ，所以 ,选D.

【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题.

2．已知数列中,且对于任意大于1的正整数n,点都在直线x-y-6=0上,则 的值为

A．27 B．6 C．81 D．9

【答案】A

【分析】先根据条件得，再根据等差数列定义以及通项公式求结果》

【详解】由题意可知，，即，故数列是等差数列，且首项，公差，所以.选A.

【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.

3．设表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）

A．若，则 B．，则

C．若，则 D．，则

【答案】B

【解析】由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.

【详解】对A项，直线可能在内，则A错误；

对B项，，则可以在内找到一直线，使得，由于，则，结合面面垂直判定定理，得出，则B正确；

对C项，直线有可能在内，则C错误；

对D项，直线可能平行，则D错误

故选：B

【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

4．在非钝角中，，则角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理边化角化简即可得到结果.

【详解】由可得，

则，且，为非钝角三角形，

所以

故选:C.

5．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出的定义域，进而结合复合函数的单调性，求出的单调递增区间即可.

【详解】由题意，可得，解得或，

所以函数的定义域为，

二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，

根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域.

6．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别得出、对应的自然数，将、代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.

【详解】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；

对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，，即对应的明文为，故排除B；

故选：C

【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.

7．已知的三边之比为，则最大角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】不妨设，由条件结合余弦定理可求的最大角.

【详解】不妨设的三边满足，因为的三边之比为，故可设，则，，由中最大边所对的角最大，可得的最大内角为，由余弦定理可得，又所以，故最大角为，

故选：A.

8．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：甲乙都未被录用的概率为,所以甲或乙被录用的概率为

【解析】古典概型概率

9．已知，则有

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵0＜x＜y＜a＜1∴logax＞logaa=1，logay＞logaa=1

∴loga（xy）=logax+logay＞2

故选D．

10．设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．与均为的最大值

【答案】C

【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.

【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A正确；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：C

11．不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围为(　  　)

A．  B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由题意得，不等式，又关于的不等式对任意实数恒成立，则，即，解得，故选A.

【解析】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.

12．已知，，，则的最小值为

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【详解】分析：利用均值不等式，，解不等式即可．

详解：利用均值不等式，，令，故

又因为，解得，所以的最小值为6．故选B

点睛：均值不等式成立的3个条件“一正、二定、三相等”．

一正：的范围要为正值

二定：如果为数，那么均值不等式两边本身就为定值．

如果为变量，那么均值不等式两边为未知数，使用均值不等式后必须为一个常数才算使用成功．

三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．

注意为数时可以实现与之间的相互转换．

二、填空题

13．设是公比的等比数列，且，，则等于______．

【答案】

【分析】根据等比数列的通项公式求解公比即可.

【详解】解：是公比的等比数列，且，

所以，解得（舍）或.

故答案为：.

14．设，满足约束条件，则目标函数的最大值为        .

【答案】5

【分析】作出可行域，平移直线，确定目标函数在何处取得最大值，求出最优解代入目标函数中即可

【详解】约束条件表示的平面区域为如图所示．

作直线，平移直线到过点B时，目标函数取最大值5．

故答案为：

15．一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则边数ｎ＝___

【答案】  8

【详解】试题分析：设内角的度数构成的数列为{an}，则a1=100°，d=10°

则an=a1+（n-1）d=100°+（n-1）•10°＜180°

∴n＜9，∴边数为8

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且进行正确的运算．

16．如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为_______

【答案】

【分析】设第n个正三角形的内切圆的半径为an，可得数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列，前n个内切圆的面积和Sn＝π（a12+a22+…+an2）＝πa12[1+（）2+（）2+…+（）2]，由等比数列的求和公式计算可得．

【详解】设第n个正三角形的内切圆的半径为an，

∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，

每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，

∴a1atan30°a，a2a1，…anan﹣1，

∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列，

∴ana，

设前n个内切圆的面积和为Sn，

则Sn＝π（a12+a22+…+an2）＝πa12[1+（）2+（）2+…+（）2]

＝πa12[1（）2+…+（）n﹣1]（1）π（1）π=

故答案为

【点睛】本题考查等比数列的求和公式，从实际问题中抽象出等比数列是解决问题的关键，属中档题．

三、解答题

17．解下列不等式

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合二次不等式，可得答案；

（2）根据分式不等式的解法，可得答案.

【详解】（1）由，则，即，，，解得.故解集为

（2）由，则，，，，，解得.故解集为

18．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.

（1）求角的度数；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式可得角的余弦值，从而可求的大小.

（2）利用余弦定理和韦达定理可求的长.

【详解】（1）由题设可得即，

而为三角形内角，故.

（2）由韦达定理可得，

由余弦定理可得，

故.

19．已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，

⑴求的值；

⑵求数列的通项公式．

【答案】,;(2)

【分析】（1）根据题意，由等差中项的性质可得2an＝sn+2，令n＝1可得2a1＝s1+2＝a1+2，解可得a1的值，再令n＝2可得2a1＝s2+2＝a1+a2+2，计算可得a2的值；

（2）由2an＝sn+2可以构造2an﹣1＝sn﹣1+2，将两个式子相减即可得2an﹣2an﹣1＝sn﹣sn﹣1＝an，变形可得：an＝2an﹣1，结合等比数列的性质分析可得数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．

【详解】解：（1）根据题意，数列{an}满足an是Sn与2的等差中项，

则有2an＝sn+2，

当n＝1时，2a1＝s1+2＝a1+2，解可得a1＝2，

当n＝2时，2a1＝s2+2＝a1+a2+2，

解可得a2＝4；

（2）根据题意，2an＝sn+2，①

则有2an﹣1＝sn﹣1+2，②

①﹣②可得：2an﹣2an﹣1＝sn﹣sn﹣1＝an，

变形可得：an＝2an﹣1，

又由a1＝2，

则数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，

则a1＝2×2n﹣1＝2n．

【点睛】本题考查数列的递推公式，涉及数列的通项公式，关键是理解数列递推公式的意义．

20．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．

【答案】答案见解析.

【分析】由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集．

【详解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；

∵a＞0，∴不等式化为，

令，

解得；

∴当0＜a＜1时，即，原不等式的解集为{x|1＜x}；

当a＝1时，即，原不等式的解集为；

当a＞1时，即，原不等式的解集为．

21．已知，，且

（1）求函数的解析式；

（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值

试题解析：（1）

即

（2）由， ， ，

，

，

此时，

【解析】1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质

22．数列的前项和为，，.

(1)求数列的通项；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列从第二项开始成以为公比的等比数列，即可求得数列的通项公式；

（2）分、两种情况讨论，结合错位相减法可求得.

【详解】（1）解：当时，，

当时，由可得，

上述两个等式作差得，可得，且，

所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，

因为不满足，故.

（2）解：，

当时，；

当时，，①

，…②

①②得：，

所以，，

又也满足，所以.