2022-2023学年甘肃省武威市等2地高二上学期期中联考数学（理）试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市等2地高二上学期期中联考数学（理）试题

一、单选题

1．在下列结论中：其中正确结论的个数是（    ）

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】对于①，向量所在的直线还可能重合，故①错误；对于②，根据空间向量可以平移，可得②错误；对于③，根据向量不一定共面，可得③错误；对于④，根据空间向量基本定理可得④错误.

【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故①错误；

对于②，若向量所在的直线为异面直线，则向量一定共面；故②错误；

对于③，若三个向量两两共面，则向量不一定共面；故③错误；

对于④，当空间三个向量不共面时，则对于空间的任意一个向量，总存在唯一实数使得，故④错误.

故选：A

2．方程（    ）

A．可以表示任何直线

B．不能表示过原点的直线

C．不能表示与轴垂直的直线

D．不能表示与轴垂直的直线

【答案】D

【分析】根据直线方程的点斜式的意义判断正确选项.

【详解】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，

所以不能表示与轴垂直的直线．

故选D．

3．过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ）

A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1

【答案】C

【分析】与y=(x+1)垂直且过(0,1)，即可得所求方程的斜率，进而写出直线方程

【详解】与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2，又过点(0,1)

∴所求直线方程为y=-2x+1

故选：C

【点睛】本题考查了利用垂直关系求直线方程，由垂直关系求直线的斜率，根据所过的点写出点斜式直线方程

4．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量是，则平面与所成的角等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据得，可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以平面与所成的角等于.

故选：D

5．已知,,,,则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.

【详解】由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,

故直线AB和CD所成角的余弦值为.

故选：A

【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.

6．若平面的法向量分别为，则（    ）

A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确

【答案】C

【分析】根据平面法向量的定义，由既不平行也不垂直即可得解.

【详解】显然不平行，而，

故不垂直，

所以法向量既不平行也不垂直，

所以相交但不垂直，

故选：C

7．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是

A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）

C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）

【答案】B

【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可.

【详解】在空间直角坐标系O﹣xyz中,

点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题.

8．经过两点A(－2,5)、B(1,－4)的直线l与x轴的交点的坐标是 (　　)

A．(－，0) B．(－3,0) C．(，0) D．(3,0)

【答案】A

【详解】过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，

故它与x轴的交点的坐标为(－，0)．

故选：A．

9．在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为（    ）

A．x+2y-4=0 B．x-2y=0 C．2x-y-3=0 D．2x-y+3=0

【答案】C

【分析】由点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，求得直线l的斜率，且直线l过(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点，即可得直线l的方程

【详解】根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，令直线l的斜率为k

∴，故，且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1)

∴直线l的方程为y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0

故选：C

【点睛】本题考查了已知两点关于直线对称求直线方程，由已知点关于直线对称，可得直线的斜率且两点构成线段的中点在直线上求直线方程

10．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．

【详解】解：

故选：．

【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题．

11．在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则可得到点 的坐标以及的坐标，再求出平面 BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案.

【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则

所以

设平面的法向量，则 即                                     

设，则

所以                                               

则点到平面的距离为.

故选:A

12．如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可

【详解】解：因为，所以，

在平行六面体中，

，

故选：C

【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.

二、填空题

13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，，，，A1C1与B1D1的交点为E，则=     .

【答案】

【解析】根据矩形的性质与向量的减法法则，得到．再由向量加法的三角形法则，得到，从而可得，进而得到本题答案．

【详解】矩形中，对角线、相交于点，

向量，

矩形中，；矩形中，，

，

又，

．

故答案为：

【点睛】本题在正方体中，求向量用、、表示的式子，着重考查了矩形与正方体的性质、向量的定义与加减法则等知识，属于中档题．

14．.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则      .

【答案】

【解析】根据空间向量的线性运算法则计算可得；

【详解】解:四面体中，、分别是、的中点，则

故答案为：

【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算的应用问题，属于基础题．

15．已知空间直角坐标系中有点A(－2，1，3)，B(3，1，0)，则       .

【答案】

【分析】根据向量模的意义，由空间两点间距离公式计算.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查空间两点间距离公式，考查空间向量模的定义，属于基础题.

16．在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为               ．

【答案】

【分析】利用空间向量的线性运算可求.

【详解】

.

故答案为：.

三、解答题

17．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

顶点C的坐标；

直线MN的方程．

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．

（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．

解：（1）设点C（x，y），

∵边AC的中点M在y轴上得=0，

∵边BC的中点N在x轴上得=0，

解得x=﹣5，y=﹣3．

故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．

（2）点M的坐标是（0，﹣），

点N的坐标是（1，0），

直线MN的方程是=，

即5x﹣2y﹣5=0．

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

18．如图，四棱锥的底面是矩形，，且底面.

（1）求向量在向量上的投影；

（2）若线段上存在异于的一点，使得，求 的最大值.

【答案】（1）；（2）1.

【分析】（1）可证得，利用向量在向量上的投影的定义即得解；

（2）证明平面，得出，设，从而得出关于的函数，根据的范围即得解.

【详解】

（1）连接平面平面ABCD

故向量在向量上的投影为：

（２）连接平面平面ABCD

，又

平面SAP，又平面ADP

设

，

当时，的最大值为１．

【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题．

19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

【答案】（1）见解析；

（2）.

【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；

（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.

【详解】（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线

且

又为中点，且 且

四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）在菱形中，为中点，所以，

根据题意有，，

因为棱柱为直棱柱，所以有平面，

所以，所以，

设点C到平面的距离为，

根据题意有，则有，

解得，

所以点C到平面的距离为.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.

20．斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点．

求该抛物线的标准方程和准线方程；

求线段AB的长．

【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）

【分析】根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；

设，将直线l的方程与抛物线方程联立消去y，整理得，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求．

【详解】

由焦点，得，解得

所以抛物线的方程为，其准线方程为，

设，

直线l的方程为

与抛物线方程联立，得，

消去y，整理得，

由抛物线的定义可知，．

所以，线段AB的长为

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题．

21．已知长方体中，，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；

（2）求线段的长度；

【答案】（1）；（2）；

【分析】（1）由点为坐标原点及，即可求得点的坐标；

（2）由两点距离公式，即可求得和的长度.

【详解】（1）由题意，点为坐标原点，所以

因为，可得

又因为点N是AB的中点，点M是的中点，所以.

（2）由两点距离公式得：，

.

22．如图，若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.

【答案】（1）10或22；（2）.

【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；

（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.

【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，

点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，

则由双曲线定义可知，，解得或，

即点到另一个焦点的距离为或；

（2）P是双曲线左支上的点，则，

则，而，

所以，

即，

所以为直角三角形，，

所以.