2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线方程求出直线斜率，由斜率求出直线倾斜角即可.

【详解】设直线的倾斜角为，

由可得，

即直线的斜率为，

由知，，

故选：D

2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ）

A．1 B． C．或1 D．2或1

【答案】D

【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.

【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；

当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；

当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.

由，解得：.

故的值是2或1.

故选：D

3．若椭圆的一个焦点为，则的值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据焦点坐标可确定焦点的位置，进而可求出.

【详解】椭圆的一个焦点为，

可得，解得.

故选：A.

4．已知中心在原点，焦点在轴的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由求得，进而求得双曲线的渐近线方程.

【详解】双曲线的焦点在轴，

由题意，，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：C.

5．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（   ）

A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x

C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x

【答案】D

【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标，结合点M到准线l的距离为3列式求得p，则抛物线方程可求.

【详解】∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），

∴，可得.

又点M到准线l的距离为3，

∴，解得p＝2或p＝4.

则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.

故选：D.

6．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解.

【详解】点关于轴的对称点为，

则光线从到经过的路程为的长度，

即.

故选：C

7．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，画出图象，要使直线与曲线有且仅有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得．

【详解】解：曲线有即，

表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），

如图，设、、，

当直线经过点时，，求得，

此时只有一个公共点，符合题意；

当直线经过点、点时，，求得，

此时有2个公共点，不符合题意；

当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，

可得，求得或（舍去），

即：时，只有一个公共点，符合题意，

综上得，实数的范围为或，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，可用数形结合的方法较为直观.

8．设是双曲线的左焦点.过点作轴的垂线交双曲线于、两点，点为双曲线的右顶点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出、，由已知条件得出，可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率.

【详解】是双曲线的左焦点，即点，

将代入双曲线的方程可得，解得，故，

设点，则，

因为为等边三角形，则，故，

整理可得，即，

所以，，即，

所以，双曲线的离心率为.

故选：D.

二、多选题

9．（多选题）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（    ）

A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)

C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)

【答案】ABC

【分析】由题可知，要使直线与平面平行，即求直线和平面的法向量垂直即可，结合向量垂直的数量积公式即可求解

【详解】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：

A中，；

B中，；

C中，；

D中，；

综上所述，选项A，B，C符合题意

故选：ABC.

【点睛】本题考查利用空间向量判断直线与平面的平行关系，属于基础题

10．点在圆上，点在圆上，则（    ）

A．的最小值为3 B．的最大值为7

C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为

【答案】ABC

【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.

【详解】圆的圆心坐标，半径

圆 ，即的圆心坐标，半径

∴圆心距

又在圆上，在圆上

则的最小值为，最大值为．

故A、B正确；

两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；

圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.

故答案为：ABC

11．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（    ）

A．的准线方程为 B．点的坐标为

C． D．三角形的面积为（为坐标原点）

【答案】ACD

【分析】先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，，中位线，最后求出，即可得到答案.

【详解】如图，不妨设点位于第一象限，

设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.

由抛物线的解析式可得准线方程为，

点的坐标为，则，，

在直角梯形中，中位线，

由抛物线的定义有，结合题意，有，

故，，.

故选：ACD.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.

12．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的焦距是

C．的离心率为 D．的面积为

【答案】ACD

【分析】设，则，，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.

【详解】设，则，，离心率，选项C正确，

∴，，选项A正确，

，选项B错误，

设，将代入得，

的面积为，选项D正确，

故选:ACD.

三、填空题

13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为        ．

【答案】

【分析】在长方体中，连结,作出异面直线A1B与B1C所成角∠,解三角形即可.

【详解】

如图示，连结,则,∴∠即为异面直线A1B与B1C所成角.

∵DA＝DC＝4，DD1＝3，∴B1C＝D1C＝5，，

在△中，由余弦定理得：

即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为      ．

【答案】

【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为      ．

【答案】4

【分析】由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.

【详解】由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，

可得，

解得，所以椭圆的长轴长为4．

故答案为：.

16．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是        ．

【答案】

【解析】设，由数量积的坐标表示得出，再由点P在椭圆上得出，联立两个方程得出，再由化简得出，结合离心率的公式即可求解.

【详解】设，则①

将代入①式解得

又，即

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.

四、解答题

17．已知直线过点.

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先设出与直线垂直的直线的方程，把点代入所设方程求解即可求得直线的方程；

（2）分直线过原点与不过原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线的方程，再把点代入所设方程求解即可求得直线的方程

【详解】（1）因为直线与直线垂直

所以，设直线的方程为，

因为直线过点，

所以，解得，

所以直线的方程为.

（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，

即.

当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，

所以直线的方程是.

综上，所求直线的方程为或.

18．如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于，两点，点是的中点.

(1)求圆的方程；

(2)当时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件利用点到直线距离公式求出圆A的半径；

（2）设直线l的方程，运用垂径定理求出A到l的距离，再求出直线的斜率即可.

【详解】（1）设圆A的半径为，

因为圆A与直线相切，所以，

所以圆A的方程为；

（2）

设直线的方程为，即，连接，，如图所示，则，

因为，，所以，

则由，得，所以直线的方程为；

综上：圆A的标准方程为：，直线的方程为.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD

(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，

因为E，F分别为PA，BC的中点，

所以，

又底面ABCD为菱形，所以，

所以，

所以四边形EGCF为平行四边形，

所以

又平面PCD．平面PCD，

所以EF//平面PCD．

（2）解：连接，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为四边形ABCD为菱形，，

所以为等边三角形，

因为F为BC的中点，

所以，

因为∥，

所以，

所以两两垂直，

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．

因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），

则．

设平面DEF的法向量，则

，令，得．

设直线AF与平面DEF所成的角为θ，

则，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为

20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的性质得求解

（2）由点差法化简后得直线斜率，再求直线的点斜式方程

【详解】（1），，

又，所以，，，

椭圆的标准方程为；

（2）设，，

则，，

两式相减可得，

为线段的中点，则，，

，，

直线的方程为，整理得：．

21．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，△PEF是边长为8的正三角形．

(1)求C的方程；

(2)过点的直线m与C交于A、B两点，若，求直线m的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）结合已知条件求得，由此求得抛物线的方程.

（2）设直线，并代入抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据求得，由此求得直线的方程.

【详解】（1）由于，所以轴，

由于三角形是边长为的等边三角形，

所以，

所以，

所以抛物线C的方程为．

（2）设直线，代入并化简得；

设，，则，．

因为，所以，设，则，，，解得．

所以直线方程为，

即或．

22．已知椭圆的离心率为，短轴长为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据离心率及短轴长及求出，，求出椭圆方程；

（2）先考虑直线AB的斜率不存在时的值，再考虑直线AB的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，从而求出，从而求出的取值范围.

【详解】（1），，

∴，

又，即，

解得：，，

椭圆的标准方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，，

不妨设，则

当直线AB的斜率存在时，设，

由，

恒成立，

故，

∴

，

综上：，

故的取值范围为．