2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.

【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.

故选：D

2．直线：的一个方向向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将直线的方程整理为斜截式，求得斜率，得到方向向量之一，利用直线的方向向量都共线，进而可以判定.

【详解】直线的方程可以改写为：,斜率为,∴直线的一个方向向量的坐标为,直线的所有的方向向量的坐标为的形式，故只有D是正确的，对应的，其余的向量都与这个向量不共线，都是错误的.

故选：D.

3．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.

【详解】，得.

故选：A.

4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】只要给的点与点连接得到的向量与的一个法向量为垂直，则这个点就在平面内，否则不在平面内.

【详解】解：设①②③④中的点分别为.

对于A：令点，，则，所以，故A错误；

对于B：令点，则，所以，故B错误；

对于C：令点，则，所以，故C错误；

对于D：令点，则，所以，故D正确.

故选：D

5．空间四边形中，，分别为，的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则可得解.

【详解】如图，为的中点，

.

故选：B

6．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ）

A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1

【答案】A

【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．

【详解】将代入圆方程，得，解得或0，

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意.

故选：C．

7．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以矩形的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量数量积坐标公式可得异面直线所成的角．

【详解】如图，以矩形的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，

∵四边形为矩形，和都是正三角形，∴平面，且是线段的垂直平分线.设，则，

∴，∴，∴，

∴异面直线与所成的角为.

故选：A

8．若圆：上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知：关于直线对称，点关于直线的对称点仍然在圆上，于是可以把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.

【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，直线经过点(0,1),

即经过圆的圆心，所以关于直线对称，点关于直线的对称点仍然在圆上,为使得点在圆上，即满足题意的点存在的充分必要条件所以圆与圆有公共点，即相切或相交，

圆心距为，

所以只需，解得．

故选：B.

二、多选题

9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.

【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，

当截距不为0时，设直线方程为，可得，

∴，所以直线方程为,

故选：AC.

10．若，，与的夹角为120°，则的值为（    ）

A． B．17 C．1 D．

【答案】BD

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解

【详解】由题意得

解得或

故选：BD

11．圆：和圆：相交于，两点，若点为圆上的动点，点为圆上的动点，则有（    ）

A．公共弦的长为 B．的最大值为

C．圆上到直线距离等于的点有3个 D．到直线距离的最大值为

【答案】BD

【分析】将两圆相减得相交弦方程并求交点坐标，即可得；确定两圆的圆心坐标及其半径，求出圆心距， 最大为圆心距加上两圆半径即可；求到直线的距离，判断与大小即可；求到直线的距离，即可确定到直线距离的最大值.

【详解】由题设，将两圆方程相减，可得直线，联立圆并整理可得，

所以或，可令，，故，A错误；

又圆，圆，则、且半径分别为、，

所以，要使的最大，即为，B正确；

由点到直线的距离为，而，

所以圆上到直线距离等于的点有2个，C错误；

由到直线的距离为，则到直线距离的最大值为，D正确.

故选：BD

12．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当，时，点D到直线PQ的距离为

B．线段PQ的最小值为

C．平面平面BCD

D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】易知，从而平面，进而有平面平面，即可判断C；建立坐标系，利用向量法可判断ACD

【详解】取的中点，连接，由题意可知：，

因为，所以，

又易知，

因为，，，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，故C正确；

以为原点，分别为轴建立坐标系，

则，

当，时，，，

，，

所以点D到直线PQ的距离为，故A错误；

设，，由得，，

，

当时，，故B正确；

当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，

，，，，

设PQ与AD所成的角为，

则，

所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．经过点和的直线的斜率为___________.

【答案】

【分析】由斜率公式计算．

【详解】由已知所求直线斜率为．

故答案为：．

14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.

【答案】

【分析】根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可.

【详解】，

所以向量在向量上的投影向量为.

故答案为：

15．若圆上，有且仅有一个点到的距离为1，则实数的值为____________.

【答案】4或6##6或4

【分析】考虑点在圆内和圆外两种情况，进而结合圆的性质求得答案.

【详解】由题意，圆心与点的距离为，

而圆上有且仅有一个点到的距离为1，根据圆的性质，

若点在圆内，则，若点在圆外，则.

故答案为：4或6.

16．如图，在四棱台中，，，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.

【详解】

如图，设，则平面，

故，

的最小值即为四棱台的高.

如下图，过作，垂足为，过作，垂足为，

过作平面，垂足为，连接，

则，，

因为，，故，

故，而，故，所以，

因为平面，故，而，

故平面，因平面，故，

故，故，即的最小值为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线的倾斜角为60°.

(1)若直线过点，求直线的方程；

(2)若直线在轴上的截距为4，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解；

（2）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的斜截式方程即可求解.

【详解】（1）∵直线的倾斜角为60°，

∴直线的斜率为，

∵直线过点，

∴由直线的点斜式方程得直线的方程为，即.

（2）∵直线的倾斜角为60°，

∴直线的斜率为，

∵直线在轴上的截距为4，

∴由直线的斜截式方程得直线的方程为.

18．在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，.

(1)试用，，表示向量；

(2)若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；

（2）利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算EF的长．

【详解】（1）由已知，是的中点，在上，且，则

所以

（2）因为，，，

即，且

由（1）知

的长为.

19．已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.

(1)求圆C的方程；

(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将三点坐标代入圆的一般方程去求解即可得到圆C的方程；

（2）以相关点法去求点M的轨迹方程即可解决.

【详解】（1）设圆C的方程为

则有，解之得

则圆C的方程为

（2）设，，

则有，，

由，可得，解之得

由点A在圆C上，得

即

故点M的轨迹方程为.

20．如图1，在边长为4的菱形中，，点是中点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意证明平面可得，再结合即可证明平面；

（2）结合（1）以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的坐标法求解即可.

【详解】（1）∵在菱形ABCD中，，于点E，

∴，，∴，

又∵，，平面，

∴平面，平面，∴，

又∵，，平面，

∴平面；

（2）∵平面，，

∴以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图），

则，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

由，，得，令，得，

∴，

设直线与平面所成角为，所以，

∴直线与平面所成角的余弦值为.

21．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

(1)求圆的方程；

(2)若圆与直线：交于两点，_____，求的值.

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：；条件②：.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆心和半径，根据题意列式求解，即可得圆的方程；（2）对①、②分析均可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离运算求解.

【详解】（1）圆的圆心为，半径为，由题意可得，解得，

即圆心，半径为，故圆的方程为.

（2）选①：∵，则为等边三角形，，

圆心到直线：的距离，

则，解得或.

选②：圆心到直线：的距离，

则，解得或.

22．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.

(1)若为线段的中点，求证：//平面；

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；

（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得DC⊥平面PAD，

可以取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AD＝2，（），利用空间向量方法求得平面与平面夹角的余弦值关于的函数，研究单调性，从而得到取值范围.

【详解】（1）取中点为，连接,

在中，∵为的中点，为中点，

∴,

在正方形中，∵为的中点，

∴,

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面；

（2）在正三角形中，为的中点，

∴，

当时，

∵平面，平面，

∴AM⊥平面，

又∵平面PCD，

∴AM⊥DC，

∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，

又平面，平面，

∴DC⊥平面PAD，

又∵平面PAD，

∴直线PO⊥直线CD，

显然PO⊥AD,AD⊥CD,

∴可以取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（为BC的中点），

设AD＝2，则，，，（），，，，

，，，，

设平面的法向量为，

，令，则，

设平面PBC的法向量为，

，令，则，

∴（）.

令，则，

∴,设，

,

∴在上单调递增，∴在上单调递增，

又∵，

∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值的取值范围是.