2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.

【详解】化为，

斜率为，所以倾斜角为.

故选:D.

【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.

2．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.

【详解】因为，则向量与平行，

所以，，

所以，，.

所以.

故选:B.

3．若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合方程的根与系数关系及等比数列的性质即可求解.

【详解】由题意得,,

故

所以

故选: .

4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ）

A．16 B．25 C．36 D．16或36

【答案】C

【分析】将圆化成标准方程，求出圆心和半径，由题可判断两圆内切，结合圆心距等于半径差可求.

【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径为1，

圆，圆心为，半径为，

两圆的圆心距，

若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有，

又由，解可得，

故选：C．

5．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ）

A． B．8 C．12 D．

【答案】B

【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.

【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，

代入抛物线方程得，可得，

根据抛物线的定义可知直线AB的长为．

故选：B．

6．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得．

【详解】设该数列为，则由，，，，

可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为，公差为，故，

故，则，，，，，

上式相加，得，

即，故

故选：C．

7．设椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点.若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆定义及弦长，根据勾股定理即可得出之间的关系式，即可求得椭圆离心率.

【详解】令

则，

又中，

，

，

中，，

所以，离心率

故选：A.

8．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，利用倒序相加法求解.

【详解】解：因为，

且，

令,

又

，

两式相加得：，

解得，

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．是等差数列的第8项

B．在等差数列中，若，则当时，前n项和取得最大值

C．存在实数a，b，使成等比数列

D．若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列

【答案】BD

【分析】求出通项公式，代入即可判断A项；根据通项公式，得出首项、公差的值，得到表达式，即可判断B项；设为等比数列，根据等比中项可得，，易知无实数解，即可判断C项；分和，根据前n项和公式，即可判断D项.

【详解】对于A项，易知等差数列的通项为，则，故A项错误；

对于B项，由已知，，所以，所以当时，取得最大值，故B项正确；

对于C项，若存在实数a，b，使得成等比数列，则，，显然无实数解，故C项错误；

对于D项，设的公比为.当时，有，满足等比数列；当时，，，，满足等比数列.

综上所述，，，成等比数列，故D项正确.

故选：BD.

10．若方程表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ）

A．若为椭圆，则

B．若为双曲线，则或

C．若为双曲线，则其渐近线方程为

D．若为椭圆，且焦点在轴上，则

【答案】BC

【分析】由椭圆的定义可判断AD，由双曲线的定义和性质可判断BC.

【详解】对于A，若为椭圆，则，解得或，A错误；

对于B，若为双曲线，则，解得或，B正确；

对于C，当时，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，

当时，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，C正确；

对于D，若为椭圆，且且焦点在轴上，则，解得，D错误.

故选：BC

11．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的焦点坐标为、 B．椭圆的长轴长为

C．直线的方程为 D．

【答案】BC

【分析】结合椭圆概念易判断A错B对，设，由点差法化简可验证C是否正确，联立直线与椭圆方程，由弦长公式可验证D是否正确.

【详解】因为椭圆方程为：，所以焦点在轴上，故A项错误；

，所以，B项正确；

设，则①，②，联立①②整理得，又，，所以，故直线的方程为，即，故C正确；

联立得，，，故D项错误.

故选：BC

12．在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（    ）

A．CN与QM异面 B．三棱锥的体积跟λ的取值无关

C．不存在λ使得 D．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为

【答案】BD

【分析】证明可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；求出截面梯形的面积可判断D

【详解】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线.

∴，则CN，QM共面，A错.

为定值，B对.

如图建系，，则

，

，C错.

截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线 垂足为G.

，

∴，D对.    

故选：BD

三、填空题

13．已知函数，则___________.

【答案】

【分析】由分段函数分别计算，再结合指数、对数运算法则即可.

【详解】由分段函数可知，，，即.

故答案为：

14．数列的通项公式为，则它的前100项之和等于______.

【答案】

【分析】根据并项求和得出答案.

【详解】

故答案为：

15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝2，直线AD与A1C1所成的角为，点E为棱BB1的中点，则点D1到平面ACE的距离为 _____．

【答案】

【分析】建空间直角坐标系，用空间向量在平面AEC上投影计算.

【详解】

根据题意可得，

∴直线AD与A1C1所成的角即直线AD与AC所成的角，

∴可得，∴为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝1，

以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则， ，

∴，

设平面ACE的法向量，

则 ，∴ ，令，则， ，

又 ，设与平面AEC的夹角为 ，则，

∴点D1到平面ACE的距离为 ，

故答案为：．

16．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别相交于点两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则___________.

【答案】

【分析】将双曲线渐近线方程与抛物线准线方程联立可求得，由双曲线离心率可得到，由此可得，利用三角形面积可构造方程求得的值.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为；由抛物线方程知：准线方程为；

由得：，；

双曲线离心率，，则，

，解得：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线：，圆：.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；

(2)若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长.

【答案】(1)证明见解析，.

(2).

【分析】对于（1），将化为即可得答案；

对于（2），由（1）结合题意可得l方程，求得l到圆C圆心距离，结合圆半径可得答案.

【详解】（1）：，

联立

解得

故直线恒过定点.

（2）由题意直线的斜率，得，

∴：

圆：，圆心，半径，

圆心到直线的距离

所以直线被圆所截得的弦长为.

18．在等差数列中，，前12项的和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.

【答案】(1)；

(2)3332.

【分析】（1）根据已知求出，即得解；

（2）求出，再利用分组求和求解.

【详解】（1）解：设公差为，因为，前12项的和，

所以，解得，

所以.

（2）解：由题意得，所以，

所以数列前8项的和为

=.

19．设函数．

(1)求函数对称轴方程；

(2)中，，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式及半角公式得到，利用整体法求解函数的对称轴；

（2）由求出，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求出答案.

【详解】（1），

令，，解得：，

所以函数对称轴方程为；

（2），故，

因为，所以，故，

解得：，

由余弦定理得：，

由，解得：，

由三角形面积公式可得：，

的面积为.

20．如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，E为PD的中点．

(1)证明：平面；

(2)设，，菱形ABCD的面积为，求平面AED与平面AEC夹角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）构造三角形中位线，利用线线平行证明线面平行；

（2）利用菱形面积求出边长，建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解面面角.

【详解】（1）证明：由题知连接BD交AC于点F，连接EF，如图所示：

因为底面ABCD为菱形，所以F为BD中点，又因为E为PD中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）由题知菱形的面积为，，

∴，∴，

∵，∴，，，

∴，

取F为坐标原点，FB的方向为x轴，FC的方向为y轴，过F做AP平行线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则有 ，

，

记平面AED的法向量为，

则，令，可得，

记平面AEC的法向量为，

则，令，可得，

∴，

即平面AED与平面AEC夹角的余弦值为，则其夹角的正切值为．

21．已知正项数列的前项和为，且和满足：.

(1)求的通项公式；

(2)设，的前项和为，若对任意，都成立，求整数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，作差整理得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求出的通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，利用作差法说明的单调性，即可求出，从而求出参数的取值范围，即可得解；

【详解】（1）解：∵，①

当时，解得，

∴，②

①－②得，

∴，化简.

∵，∴.

∴是以1为首项，2为公差的等差数列.

∴.

（2）解：由（1）可得.

∴.

所以.

∴数列是递增数列，则，

∴，解得，∴整数的最大值是.

22．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，一个焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆的离心率和焦点坐标可求出的值，再利用的关系即可求解出方程；

(2)设直线的方程为，，根据题意求出点的坐标，由为锐角，可得且不平行，将直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理可得的取值范围.

【详解】（1）由题意知：椭圆的离心率，

因为一个焦点为，所以，则，

由可得：，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，，

联立方程组，整理可得：，

则有，

由条件可知：直线所在直线方程为：，

因为直线与直线相交于

所以，同理可得：，

则，

若为锐角，则有，

所以

，则，解得：或，

所以或或，

故直线斜率的取值范围为.