2022-2023学年黑龙江省鸡西实验中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省鸡西实验中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】根据倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可

【详解】解：由，得，所以斜率，

设倾斜角为，，

所以，解得

故选：C．

2．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，

所以双曲线渐近线为.

故选：B

3．抛物线的准线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将化为标准方程，再由准线方程为即可得解.

【详解】由化得，故物物线的标准方程为，

所以，则，

所以抛物线的准线方程为.

故选：D.

4．圆与直线相交所得弦长为（    ）

A．1 B． C．2 D．2

【答案】D

【解析】利用垂径定理可求弦长.

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

故弦长为：，

故选：D.

5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.

【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，

设，垂足为，

因为点是抛物线上一动点，

所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，

故选：D

6．如图，在正方体中，点分别是的中点，直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设正方体棱长为2，以D为原点建立空间直角坐标系，写出向量，的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线与所成角的余弦值.

【详解】设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，所以，，设直线与所成角为，

则.

故选：B.

7．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.

【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，

因为两圆的圆心距，

所以两圆外离，

所以．

故选：B.

8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.

【详解】设，，所以，

又，所以．

因为且，所以，

整理可得，

又动点M的轨迹是，

所以，解得，

所以，又，

所以，因为，

所以的最小值为．

故选：C．

二、多选题

9．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ）

A．的坐标为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得、的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项.

【详解】对于抛物线，，可得，则点，A错；

由抛物线的定义可得，可得，则，可得，B对C错；

，D对.

故选：BD.

10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（　　）

A．与是共线向量

B．的单位向量是（1，1，0）

C．与夹角的余弦值是

D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）

【答案】CD

【分析】由，可判断选项A；的单位向量为±，可判断选项B；由，可判断选项C；设平面ABC的一个法向量为，由，求得，即可判断D．

【详解】解：由题意知，，，，

因为，所以与不是共线向量，即A错误；

的单位向量为，所以的单位向量为或，即B错误；

，所以与夹角的余弦值为，即C正确；

设平面ABC的一个法向量为，则，即，

令x＝1，则y＝﹣1，z＝3，所以，即D正确．

故选：CD．

11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．点到右焦点的距离的最大值为9

B．焦距为10

C．若，则的面积为9

D．的周长为20

【答案】AC

【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．

【详解】解：由椭圆的方程得：

.

对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；

对B.焦距为B错误；

对C.由题意得：，①

由椭圆定义得：，

即，②

②-①得：，

的面积为，故C正确

对D，的周长为，故D错误；

故选：AC

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线：，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ）

A．点的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5

D．点的轨迹到直线距离的最大值为

【答案】BCD

【分析】设点到的距离为，对于A，根据已知条件结合两点之间的距离公式求出动点的轨迹方程即可判断；对于B，联立直线方程与椭圆方程，即可判断；对于C，根据新定义可得，从而可得出答案；对于D，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程，再根据两平行直线之间的距离公式即可得解.

【详解】解：设点为，点到的距离为，

因为动点到点的距离是点到直线的距离的一半，

则，化简得，故A错误；

联立，解得，则，

故存在，直线是“最远距离直线”，故B正确；

由可知，，

当点与点纵坐标相等时，最小距离为：，C正确；

由B选项可知，直线与椭圆切，

直线与直线平行，

由椭圆的对称性易知与直线平行的另一条切线为，

故直线与直线的距离即为所求，为，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆上的点到直线的距离的最值问题，解决本题的关键在于把题中的新定义给掌握.

三、填空题

13．已知向量若，则           .

【答案】1

【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解

【详解】由题意得，则，

故答案为：1

14．圆心为，且过点的圆的方程是            ．

【答案】

【分析】首先确定圆的半径，进而得到圆的标准方程.

【详解】由题意知：圆的半径，圆的方程为：.

故答案为：.

15．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为           米.

【答案】

【分析】先根据抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，根据条件得抛物线上一点得坐标，代入后可得抛物线得方程，再令对应得y值可得上升水面后得横坐标得值，即得解.

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（6，-3）代入，

得，

∴，代入B得，

故水面宽为米，

故答案为：．

16．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C交于Q点，且．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为             

【答案】

【分析】根据为等腰三角形且Q为的中点，得，再由得到．进而由双曲线的定义得到，然后在中利用勾股定理求解.

【详解】如图所示：

连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，

由知．

由双曲线的定义知，

在中，，

，

，

解得，

故答案为：．

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.

(1)设的中点为D，求边上的中线所在的直线方程；

(2)求边上的高所在的直线方程；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由中点坐标公式求得，再利用点斜式即可求得所在的直线方程；（2）利用直线垂直斜率相等求得，再利用点斜式即可求得边上的高所在的直线方程；

【详解】（1）因为，所以的中点，

即，故，

所以边上的中线所在的直线方程为，即.

（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率，

所以边上的高所在的直线方程为，即.

18．已知圆过三点，，．

(1)求圆的方程；

(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.

【详解】（1）设圆G的方程为，

因为圆过三点，，，

所以 ，解得,

圆G的方程为.

（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，

（i）若直线的斜率不存在，

则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;

（ii）若直线的斜率存在，

则设直线方程为 即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，

解得,所以切线方程为.

综上，切线方程为或.

19．已知椭圆的离心率为，焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再根据求出，即可求出椭圆方程；

（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程.

【详解】（1）解：由已知，，

∴，，

所以，

所以椭圆方程为.

（2）解：设直线与椭圆交于，两点，

则且，

两式相减并化简得.

又，，

所以，即，

所以直线的方程为.

20．如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．

(1)求证：DE⊥平面PCB；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.

（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明:PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，

又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，

∴BC⊥平面PCD，

又∵DE平面PCD，

∴BC⊥DE，

∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，

且面，面

∴DE⊥平面PCB

（2）

以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：

则，

设平面BDE的法向量为，

则，

令，得到，

又，则，且AC⊥平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为．

21．已知抛物线的顶点在坐标原点，开口向右，焦点为，抛物线上一点的纵坐标为4，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点作直线交拋物线于两点，判断以为直径的圆是否过原点，并说明理由.

【答案】(1)

(2)过原点，理由见解析

【分析】（1）根据求得，从而求得抛物线的标准方程.

（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据判断出以为直径的圆过原点.

【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为：，

所以点的坐标为，点的坐标为，

因为，则,解得.

所以抛物线的方程为：.

（2）依题意可知直线与轴不平行，

设直线的方程为，

则联立方程得，

所以，，

因为，

所以

.

以为直径的圆过原点.

22．椭圆的离心率为：，短轴一个端点到右焦点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆离心率得出，由短轴一个端点到右焦点的距离得出，进而求出和，即可得出椭圆的方程；

（2）设，分两种情况讨论，当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程与直线方程，结合坐标原点O到直线l的距离为及根与系数关系，求解即可．

【详解】（1）由椭圆离心率得，

由短轴一个端点到右焦点的距离为，得，

因为，

所以，即，

所以，则，

故椭圆的方程为．

（2）设，

当直线斜率不存在时，即轴，；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

因为坐标原点O到直线l的距离为，

所以，即，

直线方程与椭圆方程联立，得，

则

，

，，

则

，

当时，

，

当且仅当，即时，等号成立；

当时，，

综上所述，，

所以面积的最大值为．

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，分直线斜率是否存在讨论，存在时设，根据点到直线距离公式得到关系式，然后再将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再利用弦长公式结合基本不等式求出的最值即可得到答案.