专题1.8 二次函数与一元二次方程、不等式-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题1.8 二次函数与一元二次方程、不等式

【考点1：三个“二次”之间的关系】

【考点2：解不含参的一元二次不等式】

【考点3：解含参的一元二次不等式】

【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】

【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】

【考点1：三个“二次”之间的关系】

【知识点：三个“二次”之间的关系】

1．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（　　）

A．﹣2​ B．0 C．1 D．2

2．（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　）

A． B． C． D．

3．（2021秋•威宁县期末）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则a，b的值是（　　）

A．﹣3，﹣6 B．﹣6，﹣1 C．6，3 D．3，6

4．（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（　　）

A．{x|x或x} B．{x|x} 

C．{x|x或x} D．{x|x}

5．（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）

A． B． C． D．

6．（2021秋•金水区校级期末）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为，则不等式bx2+cx﹣a＞0的解集为（　　）

A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞2或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}

7．（2021秋•河南期末）已知方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和5，则不等式x2+px+q＞0的解集是 　　．

8．（2022春•赤峰期末）若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝　　．

9．（2022•和平区校级二模）已知不等式x2﹣8x+a（8﹣a）＜0的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为 　　．

【考点2：解不含参的一元二次不等式】

【知识点：解不含参的一元二次不等式】

1．（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2022春•昭阳区校级期末）已知不等式﹣x2﹣x+6＞0，则该不等式的解集是（　　）

A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2或x＞3} C．{x|x＜﹣3或x＞2} D．{x|﹣3＜x＜2}

3．（2021秋•阳春市校级月考）解下列不等式．

（1）﹣x2+2x﹣3＜0；

（2）﹣3x2+5x﹣2＞0．

【考点3：解含参的一元二次不等式】

【知识点：解含参的一元二次不等式】

①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；

②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；

③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．

1．（2021秋•南阳期末）设m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（　　）

A．{x|x＜﹣n或x＞m} B．{x|﹣n＜x＜m} C．{x|x＜﹣m或x＞n} D．{x|﹣m＜x＜n}

2．（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．

3．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：

（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．

（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．

4．（2021秋•罗庄区校级月考）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．

（1）当a＝2时，解关于x的不等式；

（2）当a＞0时，解关于x的不等式．

【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】

【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】

方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.

1．（2022春•吉安期末）若关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[﹣2，0] B．（﹣2，0] 

C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）

2．（2021秋•廊坊期末）关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（　　）

A． B． C． D．

3．（2022春•南充期末）不等式（a﹣2）x2+4（a﹣2）x﹣12＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．    B．   C． D．

4．（2022春•汉中期末）若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 　　．

5．（2021秋•惠州期末）已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．

（1）求常数a的值；

（2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求m的取值范围．

【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】

【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】

1. 汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了．事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速的关系大致如下：，由此可以推测(    )

A. 甲车超速 B. 乙车超速 C. 两车都超速 D. 两车都未超速

2. 本小题分

某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．

若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？

3. 本小题分
4. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为万元请你根据以上数据，解决下列问题：
5. 引进该设备多少年后，开始盈利
6. 引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出第二种：盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出，哪种方案较为合算请说明理由．

7. 本小题分

北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．

据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

8. 本小题分

小王于年初用万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元国家规定大货车的报废年限为年．

大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？利润累计收入销售收入总支出

9. 本小题分

南京六合为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围斜线部分均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为平方米．

若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；

若草坪四周及中间的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．