专题1.7 基本不等式-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题1.7 基本不等式

【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】

【考点2：由基本不等式证明不等式】

【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】

【考点4：利用基本不等式解决实际问题】

【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】

【知识点：基本不等式】

一．基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

二．几个重要的不等式：

（1），，当且仅当a＝b时取等号；

（2），>0，当且仅当a＝b时取等号；

（3），，当且仅当a＝b时取等号；

（4），，当且仅当a＝b时取等号；

三. 利用基本不等式求最值问题：

已知x>0，y>0，则：

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）

1．（2022春•甘孜州期末）​的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）

A．8 B． C．9 D．

5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则的最小值为（　　）

A． B．4 C． D．

6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（　　）

A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）

7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（　　）

A．6 B． C． D．

8．（2022春•朝阳区校级期末）已知，求的最小值 　　．

9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 　　．

10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足，则x+y的最小值为 　　．

11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则的最小值为 　　．

12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则的最小值为 　　．

13．（2022春•岚山区校级月考）已知，且2x+y＝7，则的最小值为 　　．

14．（2022•烟台三模）当x＞0时，的最大值为 　　．

15．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为 　　．

16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当取到最小值时，则a＝　　．

17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求的最小值；

（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求的最小值．

18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．

（1）求的最小值；

（2）求a2+4b2+5ab的最大值．

【方法技巧1】

【方法技巧2】

【考点2：由基本不等式证明不等式】

1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（　　）

A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2

2．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　）

A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D．

3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　）

A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 

C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确

【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】

1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}

2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．7

3．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式2恒成立，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m≤2

4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 　　．

5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是 　　．

6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．

7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．

（1）求xy的最大值；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．

（1）求2x+y的最小值；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围．

9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．

（1）求的最小值；

（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．

【考点4：利用基本不等式解决实际问题】

【知识点：利用基本不等式解决实际问题】

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为 　　（用P1、P1表示）．

2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

3．（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．