专题06 一元二次不等式中的含参问题-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、按二次项系数的符号分类2
\l "_Tc170135646" 题型二、按判别式的符号分类5
\l "_Tc170135647" 题型三、按方程的根、的大小分类9
\l "_Tc170135648" 题型四、分类综合问题11
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（9题）16
一、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论
常用的分类方法有以下三种：
（1）按二次项系数的符号分类，即；
（2）按判别式的符号分类，即；
（3）按方程的根、的大小分类，即．
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【题型一 按二次项系数的符号分类】
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一元二次不等式的解法求解．
【详解】原不等式可化为，而，故，
图象开口向下，
故原不等式的解集为
故选：C
二、填空题
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】第一空根据开口向上，与轴有两个交点即可取不等式的解集，第二空，根据第一空的范围，对不等式进行整理，比较大小得，再根据开口向上，利用法则取不等式的解集．
【详解】当，则，
不等式
可化简为，
因为，所以，
则，
故答案为：0,1，．
三、解答题
3．（2022高一·全国·专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为区间，求实数a的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数；
（2）解含参数的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由可得，，
因为该不等式解集为，
所以，解得.
（2）不等式可化为，
即，也即，
对应方程的两个根分别为，且，
所以不等式的解集为.
5．（23-24高一上·山东临沂·期中）求关于x的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【分析】分、、三种情况求解即可.
【详解】当时，原不等式为，该不等式的解集为.
当时，，原不等式可化为.
①若，则，原不等式的解集为或；
②若，则，原不等式的解集为或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
6．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知.
(1)若，求关于的不等式的解集；
(2)若，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)-∞,1∪2,+∞
(2)答案见解析
【分析】（1）时，解一元二次不等式；
（2）不等式，即，分类讨论解一元二次不等式.
【详解】（1）若，不等式，解得或，
即不等式的解集为-∞,1∪2,+∞.
（2）若，不等式，即，可化为，
当，即时，解得或；
当，即时，不等式等价于，所以；
当，即时，解得或，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【题型二 按判别式的符号分类】
一、解答题
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围；
（2）已知，解不等式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围；
（2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集．
【详解】（1）关于的二次方程无实数解，
函数的图象与轴无交点，
，
解得：，
实数的取值范围为；
（2）令，
当时，，
解得：，
所以不等式的解集是．
2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据二次不等式的解法即得；
（2）根据判别式，即可结合分类讨论求解.
【详解】（1）当时，得，
由于，
故的解集为；
（2）由可得，
当时，解得，
此时不等式的解集为，
当时，解得或，
的两个实数根为，
此时不等式的解集为，
综上：或，不等式的解集为，，此时不等式的解集为，
3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.
(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；
（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可.
【详解】（1）由题意，可得，
；
（2）①当时，即时，
原不等式的解集为；
②当时，即或时，
当时，，
原不等式的解集为，
当时，，
原不等式的解集为；
③时，即或时，，
解得或，
原不等式的解集为.
4．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式.
【详解】当时，，解得；
当时，则，
①时，则，解得；
②时，则有：
若，即时，则x∈R；
若，即时，则x∈R且；
若，即时，解得或；
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为R；
当时，解集为；
当时，解得.
5．（23-24高一上·重庆·期末）若函数，
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，求的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果；
（2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果.
【详解】（1）因为的解集为，
所以且，解得.
（2），，所以，即，
又，
当，即时，的解集为；
当，即时，若，解集为，若，解集为；
当，即或时，的两根为，，且有，
此时，的解集为或，
综上所述，当时，的解集为；
当，解集为，当，解集为；
当或时，的解集为或.
【题型三 按方程的根、的大小分类】
一、解答题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将代入解不等式即可；
（2）因为对应方程的两个根为，分、、a<-12三种情况解不等式即可.
【详解】（1）由，
当时，可得解集为.
（2）对应方程的两个根为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当a<-12时，原不等式的解集为或，
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解；
（2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）原不等式等价于，即，．
∵，∴原不等式的解集为．
（2）∵的两根为，．
①当即时，，即；
②当即时，，即或；
③当即时，，即或．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
3．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解.
【详解】（1）由可得，
当时，不等式的解为或；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或
（2）由可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【题型四 分类综合问题】
一、解答题
1．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系，得，
解得：，；
（2）由（1）知不等式为，
即，
①当时，易得不等式的解集为，
②当时，不等式可化为，不等式的解集为或．
③当时，不等式可化为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为．
2．（23-24高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值；
（2）求关于的一元二次不等式的解集．
【答案】（1） ；（2）答案见解析 ．
【分析】（1）依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，首先判断，再分、两种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以和为方程的两根且，
所以，解得；
（2）由，得，即，
因为是关于的一元二次不等式，所以，
当时，解得或，故不等式的解集为；
当时，不等式即为，
①时，即，不等式无解，故不等式的解集为；
②时，，解得，故不等式的解集为；
③时，，解得，故不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）.
【答案】(1),．
(2)答案见解析.
【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解；
（2）分类讨论求解即可．
【详解】（1）不等式即为：，
当,时，可变形为：，
即,
又x+2x≥2x⋅2x=22，当且仅当x=2x，即时，等号成立，
，即，
实数的取值范围是：,．
（2）不等式，
即，
等价于，
即，
当时，
当时，因为，解不等式得：；
当时，因为，不等式的解集为；
当a<-12时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当a<-12时，不等式解集为．
4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）
【答案】答案见解析
【分析】对进行合理地分类讨论即可.
【详解】由已知，可得，
（1）当时，方程有两实根，
不等式的解集为．
（2）当时，方程的根的判别式．
①当时，，所求不等式的解集为R；
②当时，，所求不等式的解集为；
③当时，，所求不等式的解集为或．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为或．
当时，解集为；
时，解集为R.
5．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集.
【详解】（1）当时，．
∵，即，
∴x2-2x-3<0.
设方程的两根分别为，，则，
解得，，
∴不等式的解为，
∴函数的解集为．
（2）由题意，得，
①当时，不等式化为，解得；
②当时，开口向上，此时，
（i），即时，方程无解，不等式解集为；
（ii），即时，方程有唯一解，
不等式解集为；
（iii），即0，，且，
则不等式解集为或．
③时，开口向下，此时，
显然，方程有两解，
，，且，
不等式解集为．
综上所述，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当0当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
一、多选题
1．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的不等式，则（ ）
A．若，该不等式的解集为
B．若，该不等式的解集为
C．若，该不等式的解集为或
D．若，该不等式的解集为R
【答案】BD
【分析】对于选项A，当时，该不等式为一元一次不等式，直接求解可判断选项A错误；对于选项B、C、D，该不等式为一元二次不等式，借助二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系可以求解判断.
【详解】对于选项A，当时，不等式为，解得，
所以不等式的解集为，故选项A错误；
对于选项B，当时，有，
方程的两个不相等实数根分别为，，且，
所以不等式的解集为，故选项B正确；
对于选项C，当时，有，
方程的两个不相等实数根分别为，，且，
所以不等式的解集为或，故选项C错误；
对于选项D，当时，有，所以不等式的解集为R，故选项D正确.
故选：BD.
二、填空题
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有-2，则由的值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的集合．
【详解】由，
得或，
由，
得，
当时，，无解，不合题意；
当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意；
当时，，
因为原不等式组的解集中只有一个整数-2，
如图，结合数轴可知，，，
所以.
故答案为：.
三、解答题
3．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求不等式解集.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）利用根与系数关系列方程组来求得.
（2）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得不等式的解集.
【详解】（1）原不等式可化为，
由题知，是方程的两根，
由韦达定理得，解得.
（2）当时，所以原不等式化为，
当时，即时，解原不等式可得或；
当时，即时，原不等式即为，解得x∈R；
当时，即时，解得或
综上所述，当时，解原不等式解集为：；
当时，原不等式解集为R；
当时，解得.
4．（23-24高一上·广东珠海·期中）求关于的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【分析】原不等式可化为，分三种情况求解即可.
【详解】原不等式可化为，
当时，原不等式为，故原不等式的解集为，
当时，，
当时，则，原不等式的解集为或，
当时，则，原不等式的解集为或，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为或.
5．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式：，其中是实数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集得的根为和2，然后利用韦达定理列式求解即可；
（2）根据两根大小关系分类解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以的根为和2，且，
所以，解得；
（2）原不等式即为，
也即，
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，原不等式的解集为.
6．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知一元二次不等式的解集是.
(1)求的值；
(2)已知，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算得到答案.
（2）确定，考虑和两类情况，在时，还需根据根的大小进行讨论.
【详解】（1）由题知，是方程的一个根，
将代入方程，得.
是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得.
（2）把代入不等式，整理.
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式可化为，
方程有两个根1和.
①当时，，解不等式得，或；
②当时，，不等式为，得；
③当时，，解不等式得：，或.
综上所述：
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或.
7．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)已知，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据含参一元不等式在上恒成立，分类讨论即可得的取值范围；
（2）分类讨论求解含参一元二次不等式，即可得解集.
【详解】（1）当时，
由在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，即不在上恒成立，
当时，所以，即，不等式在上恒成立.
综上，时，在上恒成立.
（2）由题意知，
令，得
当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
8．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集.
【详解】（1）当时，．
∵，即，
∴x2-2x-3<0.
设方程的两根分别为，，则，
解得，，
∴不等式的解为，
∴函数的解集为．
（2）由题意，得，
①当时，不等式化为，解得；
②当时，开口向上，此时，
（i），即时，方程无解，不等式解集为；
（ii），即时，方程有唯一解，
不等式解集为；
（iii），即0，，且，
则不等式解集为或．
③时，开口向下，此时，
显然，方程有两解，
，，且，
不等式解集为．
综上所述，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当0当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数；
(1)若不等式的解集是且，求实数的值；
(2)若，，解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由不等式解集得方程的根，由韦达定理待定系数即可；
（2）结合二次函数图象的开口方向、判别式的符号、以及根在不在区间内（即根的正负）进行分类讨论，最后整合结论即可.
【详解】（1）由得，，
因为不等式的解集是，
则是方程的两根，
所以有，解得.
则，
验证：由x2-2x-3>0解得，或，满足题意.
故实数的值为.
（2）若，则，
不等式即，
当时，恒成立，则，又已知，则；
当时，.
①当时，，且函数开口向下，过定点，
则方程有且只有一个正根，
设方程的两根为，由，则
，
由不等式解得，又，所以；
②当时，，且函数开口向上，
则恒成立，则；
③当时，，不等式为，
解得，由，得，或；
④当时，，且函数开口向上，
设方程的两根为，
则由韦达定理知，，则方程两根均为正根，
且，，
故由不等式解得，或，
又，所以，或；
综上所述，若，
则当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.



二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R