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中考数学二轮精品专题复习 专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(原卷版)
展开这是一份中考数学二轮精品专题复习 专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(原卷版),共4页。试卷主要包含了已知函数f=aex-lnx-1,已知函数f=x-1-alnx,已知函数f=ln等内容,欢迎下载使用。
专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩
如图,y=x+1是y=ex在(0,1)处的切线,有ex≥x+1恒成立;y=x-1是y=lnx在(1,0)处的切线,有lnx≤x-1恒成立.在不等式“改造”或证明的过程中,有时借助于ex,lnx有关的常用不等式进行适当的放缩,再进行证明,会取得意想不到的效果.
由ex≥x+1引出的放缩:
①ex-1≥x(用x-1替换x,切点横坐标是x=1),通常表达为ex≥ex.
②ex+a≥x+a+1(用x+a替换x,切点横坐标是x=-a),平移模型,找到切点是关键.
③xex≥x+lnx+1(用x+lnx替换x,切点横坐标满足x+lnx=0),常见的指对跨阶改头换面模型,切线的方程是按照指数函数给予的.
④ex≥x2>x2(x>0),通常有(x>0)的构造模型.
由lnx≤x-1(也可以记为lnex≤x,切点为(1,0))引出的放缩:
最常见的就是ln(x+1)≤x,由lnx<x-1向左平移1个单位长度来理解,或者将ex≥x+1两边取对数而来.
①lnx≤,表示过原点的f(x)=lnx的切线为y=.
②lnx≥1-,或者记为xlnx≥x-1.
③lnx≤x2-x(由lnx≤x-1及x-1≤x2-x,切点横坐标是x=1),或者记为≤x-1.
④lnx≤(x2-1),即在点(1,0)处三曲线相切.
【例题选讲】
[例1] 求证:当x>0时,不等式2-lnx+>0恒成立.
[例2] 已知函数为自然对数的底数).
(1)求函数的最小值;
(2)若,证明:.
[例3] 已知函数f(x)=lnx-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,1<<x;
[例4] 已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:;
(3)求证:对任意的且,都有:.(其中为自然对数的底数).
【对点精练】
1.已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax.
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若a=1,求证:当x>0时,f(x)<e2x-x2-2.
2.已知函数.
(1)设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;
(2)当时,证明:.
3.若函数f(x)=ex-ax-1(a>0)在x=0处取极值.
(1)求a的值,并判断该极值是函数的最大值还是最小值;
(2)证明:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).
4.(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)=aex-lnx-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值并求f(x)的单调区间;
(2)求证:当a=时,f(x)≥0.
5.已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·…·<m,求m的最小值.
6.已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)求证:当x∈(0,+∞)时,<f(x)<x;
(2)已知e为自然对数的底数,求证:∀n∈N*,<·…·<e.
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