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    中考数学二轮精品专题复习 专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(原卷版)

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    中考数学二轮精品专题复习 专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(原卷版)

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    这是一份中考数学二轮精品专题复习 专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(原卷版),共4页。试卷主要包含了已知函数f=aex-lnx-1,已知函数f=x-1-alnx,已知函数f=ln等内容,欢迎下载使用。


    专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩

    如图,yx1yex(01)处的切线,有exx1恒成立;yx1ylnx(10)处的切线,有lnxx1恒成立.在不等式改造或证明的过程中,有时借助于exlnx有关的常用不等式进行适当的放缩,再进行证明,会取得意想不到的效果.

    exx1引出的放缩:

    ex1x(x1替换x,切点横坐标是x1),通常表达为exex

    exaxa1(xa替换x,切点横坐标是x=-a),平移模型,找到切点是关键.

    xexxlnx1(xlnx替换x,切点横坐标满足xlnx0),常见的指对跨阶改头换面模型,切线的方程是按照指数函数给予的.

    exx2>x2(x>0),通常有(x>0)的构造模型.

    lnxx1(也可以记为lnexx,切点为(10))引出的放缩:

    最常见的就是ln(x1)x,由lnx<x1向左平移1个单位长度来理解,或者将exx1两边取对数而来.

    lnx,表示过原点的f(x)lnx的切线为y

    lnx1,或者记为xlnxx1

    lnxx2x(lnxx1x1x2x,切点横坐标是x1),或者记为x1

    lnx(x21),即在点(10)处三曲线相切.

    例题选讲

    [1] 求证x>0不等式2lnx>0恒成立.

     

     

     

     

     

    [2] 已知函数为自然对数的底数).

    (1)求函数的最小值;

    (2),证明:

     

     

     

     

     

    [3] 已知函数f(x)lnxx1

    (1)讨论f(x)的单调性;

    (2)求证:当x(1,+∞)时,1<<x

     

     

     

     

     

     

    [4] 已知函数,其中

    (1)讨论的单调性;

    (2)时,证明:

    (3)求证:对任意的,都有:(其中为自然对数的底数)

     

     

    对点精练

    1.已知函数f(x)lnxa2x2ax

    (1)试讨论f(x)的单调性;

    (2)a1,求证:当x>0时,f(x)<e2xx22

     

     

     

     

    2.已知函数

    (1)是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;

    (2)时,证明:

     

     

     

     

    3若函数f(x)exax1(a0)x0处取极值.

    (1)a的值,并判断该极值是函数的最大值还是最小值;

    (2)证明:1ln(n1)(nN*)

     

     

     

     

     

    4(2018·全国改编)已知函数f(x)aexlnx1

    (1)x2f(x)的极值点,求a的值并求f(x)的单调区间;

    (2)求证:当a时,f(x)≥0

     

     

     

     

    5.已知函数f(x)x1alnx

    (1)f(x)≥0,求a的值;

    (2)m为整数,且对于任意正整数n·…·m,求m的最小值.

     

     

     

     

    6.已知函数f(x)ln(1x)

    (1)求证:当x(0,+∞)时,<f(x)<x

    (2)已知e为自然对数的底数,求证:nN*<·…·<e

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