初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用第2课时同步达标检测题

第2课时　 二次函数的应用(2)

1．图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求两盏景观灯之间的水平距离．

2．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；

(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，求t的取值范围．

3．在NBA篮球大赛中，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问球出手时，他距离地面的高度是多少？

4．如图所示，一单杠高2.2 m，两立柱间的距离为1.6 m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠的结合处A、B，绳子自然下垂，呈抛物线状，一个身高0.7 m的小孩站在距立柱0.4 m处，其头部刚好触上绳子的D处，求绳子的最低点O到地面的距离．

5．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

6．(创新应用)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y＝＋36，而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．

(1)试确定b、c的值；

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；

(3)“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？

参考答案

1. 解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y轴交点坐标是(0,1)．

设抛物线的解析式是y＝a(x－5)2＋5(a≠0)，

把点(0,1)代入y＝a(x－5)2＋5，得a＝.

∴y＝ (x－5)2＋5(0≤x≤10)．

(2)由已知，得两景观灯的纵坐标都是4，

∴4＝ (x－5)2＋5.

∴ (x－5)2＝1.

∴x1＝，x2＝.

∴两景观灯间的距离为|x1－x2|＝＝5(m)．

2. 解：(1)小丽头顶处E点的坐标为E(1,1.4)，B的坐标为(6,0.9)，

代入解析式，得

解得

∴函数解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9(0≤x≤6)．

(2)由y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9，

配方，得y＝－0.1(x－3)2＋1.8，

当x＝3时，y＝1.8，

∴小华的身高为1.8米．

(3)当y＝1.4时，得－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.4，

解得x1＝1，x2＝5，

∴当y＞1.4时，1＜t＜5.

3. 解：(1)由题图知，顶点为(0,3.5)，篮圈坐标为(1.5,3.05)，

设函数解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，将(1.5,3.05)代入，得a＝－0.2，

故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5.

(2)当x＝－2.5时，y＝－0.2×(－2.5)2＋3.5＝2.25，

故跳投时，距地面的高度为2.25－1.8－0.25＝0.2(m)．

4. 解：如图所示，以O为坐标原点，水平方向为x轴，垂直方向为y轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)．

设A、B、D三点坐标依次为(xA，yA)、(xB，yB)、(xD，yD)，

由题意，得AB＝1.6，

∴xA＝－0.8，xB＝0.8，得xD＝＝－0.4.

∴当x＝－0.8时，yA＝a·(－0.8)2＝0.64a；

当x＝－0.4时，yD＝a·(－0.4)2＝0.16a.

∴yA－yD＝2.2－0.7＝1.5.

∴0.64a－0.16a＝1.5.

∴a＝.

∴抛物线解析式为y＝.

当x＝－0.4时，yD＝×(－0.4)2＝0.5，

∴0.7－0.5＝0.2(m)．

答：绳子的最低点距地面0.2 m.

5. 解：(1)M(12,0)，P(6,6)．

(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6(a≠0)，

∵函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0,3)，

∴3＝a(0－6)2＋6，即a＝.

∴此函数解析式为y＝(x－6)2＋6＝＋x＋3(0≤x≤12)．

(3)设A(m,0)，则B(12－m,0)、、，

∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝＋(12－2m)＋＝＋18.

∵此二次函数的图象开口向下，

∴当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.

6. 解：(1)由题意，得

解得

(2)y＝y1－y2＝

＝.

(3)y＝

＝(x2－12x＋36)＋

＝(x－6)2＋11.

∵a＝＜0，

∴抛物线开口向下．

在对称轴x＝6左侧y随x值的增大而增大．

由题意x＜5，

∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．

最大利润＝(4－6)2＋11＝(元)．