沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课后测评

这是一份沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课后测评，文件包含专题216二次函数的应用解析版docx、专题216二次函数的应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.6二次函数的应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•蓝田县期中）以固定的初速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2，在这个关系式中，常量为（　　）
A．﹣4.9和v0 B．v0和t C．t D．h
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解析】h＝v0t﹣4.9t2中的v0（米/秒）是固定的速度，﹣4.9是定值，
故v0和﹣4.9是常量，t、h是变量，
故选：A．
2．（2020秋•文登区期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（　　）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【分析】由每件首饰售价不能高于40元，得出x的取值范围；根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】∵每件首饰售价不能高于40元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x）
＝﹣10x2+140x+2400
＝﹣10（x﹣7）2+2890，
∴当x＝7时，y最大＝2890，
∴每件首饰售价为30+7＝37（元），
故选：C．
3．（2020秋•夏津县期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（　　）

A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
4．（2021•朝阳区校级模拟）如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【分析】设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意可列出y关于x的函数关系式，化简即可得出答案．
【解析】设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意得：
y＝x（2÷2﹣x）
＝x（1﹣x）
＝﹣x2+x，
∴矩形的面积与其一边满足的函数关系是y＝﹣x2+x，即满足二次函数关系．
故选：C．
5．（2020秋•中山市期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a=-409，
∴h=-409（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20=-409（t﹣3）2+40，
解得t＝3±322，故③错误；
④令t＝2，则h=-409（2﹣3）2+40=3209m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
6．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　）

A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴对称轴为x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
7．（2020秋•南漳县期末）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　）

A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【解析】观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=-b2a=1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误．
综上，只有D错误．
故选：D．
8．（2021•芜湖模拟）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…

3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解析】∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
9．（2020秋•思明区校级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y=-65t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（　　）
A．25m B．50m C．625m D．750m
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解析】∵y＝60t-65t2=-65（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
10．（2021•铁岭模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2．
其中正确的判断有 （　　）

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．
【解析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；

②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；

④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，

则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•萧山区月考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h＝﹣5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过　3　秒，距离地面的最大高度为　454　米．
【分析】当该球从弹起回到地面时h＝0，代入求出时间t即可；对函数关系式进行配方找到最大值即距离地面的最大高度．
【解析】当该球从弹起回到地面时h＝0，
∴0＝﹣5t2+15t，
解得：t1＝0或t2＝3，
t＝0时小球还未离开地面，
∴t＝3时小球从弹起回到地面；
∵h＝﹣5t2+15t＝﹣5（t-32）2+454，﹣5＜0，
∴当t=32时，h取得最大值454；
故答案为：3，454．
12．（2021•大东区一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为　1050平方米　．

【分析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，由含x代数式表示出菜园面积，再将解析式配方求解．
【解析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
13．（2021春•洪山区校级月考）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t-65t2，飞机着陆至停下来共滑行　750m　．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解析】∵y＝60t-65t2=-65（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：750m．
14．（2021•绿园区一模）如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为　y=-125x2+85x　．

【分析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．利用顶点式即可解决问题．
【解析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a=-125，
∴抛物线的解析式为y=-125（x﹣20）2+16，
即y=-125x2+85x，
故答案为：y=-125x2+85x．
15．（2021•宽城区一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-35x2+bx+1的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　3.4　米．

【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度．
【解析】∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x=-b2×(-35)=2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y=-35x2+3x+1，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB=-35×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
16．（2021•二道区校级一模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为　10m　．

【分析】建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣18）（x+18），OH＝k，用含k的式子表示出点A和点C的坐标，再代入抛物线解析式，得方程组，解得a和k的值，则k的值即为所求的答案．
【解析】如图，建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，

设AB与y轴交于点H，
∵DE＝36m，
∴D（﹣18，0），E（18，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣18）（x+18），
∵AB＝24m，
∴AH＝BH＝12m，
设OH＝k，则A（﹣12，k），
∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，
∴C（0，k+8），
将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：
k=a(-12-18)(-12+18)k+8=a(0-18)(0+18)，
解得：a=-118k=10，
∴点E到直线AB的距离为10m．
故答案为：10m．
17．（2021•温州一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了　（3212-6）　米．

【分析】过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，设当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，然后分别表示出点A和点E的坐标，利用图形相似，求出a和h的值，最后求出x＞0时向上平移后图象解析式，进而得到M的最远距离，再减去原来的9米，即为增加的距离．
【解析】如图，过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，

∵AM⊥x轴，
∴AM∥DF，
∴△ACM∽△DCF，
∴CMCF=AMDF，
其中CM＝4，CF＝CM+MF＝4+3＝7，
设当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
当x＝0时，y＝9a+h，
∴点A的坐标为（0，9a+h），
∴AM＝9a+h
当x＝3时，y＝h，
∴点E（3，h），
∴EF＝h，DF＝h+1.5，
∴47=9a+hh+1.5
∴21a+h＝2 ①，
又最远落点到中心M的距离为9米，
∴x＝9时，y＝0，
即36a+h＝0 ②，
联立①和②，可得：a=-215，h=245，
∴当x＞0时，抛物线解析式为：y=-215（x﹣3）2+245，
将抛物线向上平移1.5m，
∴当x＞0时，新的抛物线解析式y'=-215（x﹣3）2+6.3，
此时当y＝0时，x＝3+3212（已舍弃负值），
则水柱水柱最远落点到中心M的距离增加了（3212-6）米，
故答案为：（3212-6）．
18．（2021春•福田区校级月考）已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价　6　元时，每天的总利润达到最大．
【分析】直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．
【解析】设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•长沙模拟）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？
（3）现学校通过调整校门口的入校通道，提高体温检测效率．经过调整，现在每分钟可以多通过2人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）令y＝0，得：-12x2+16x+34＝0，解方程并作出取舍即可；
（3）设第x分钟时的排队等待人数为w人，则w＝y﹣2x，从而可得w关于x的二次函数，计算当x＝30时的w值，则可得答案．
【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：16a+4b+c=90c=34-b2a=16，
解得：a=-12b=16c=34，
∴y=-12x2+16x+34；
（2）令y＝0，得：-12x2+16x+34＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34．；
∴从7：00开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校；
（3）设第x分钟时的排队等待人数为w人，
由题意得：w＝y﹣2x
=-12x2+14x+34，
当x＝30时，w＝4＞0．
∴7点30分时所有学生不能全部完成进校．
20．（2021•东西湖区模拟）某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案A：若单独投资燃油汽车时，则所获利润w1（千万元）与投资金额x （千万元）之间存在正比例函数关系例w1＝kx，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案B：若单独投资新能源汽车时，则所获利润w2（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在二次函数关系：w2＝ax2+bx，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，先表示出此时w2关于x的函数关系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，求解即可．
【解析】（1）由题意可得，当x＝2时，w1＝0.8，代入w1＝kx得，
0.8＝2k，
解得k＝0.4，
∴正比例函数的表达式为w1＝0.4x．
当x＝1时，w2＝1.4；当x＝3时，w2＝3，代入w2＝ax2+bx，
得：a+b=1.49a+3b=3，
∴a=-0.2b=1.6，
∴二次函数表达式为w2＝﹣0.2x2+1.6x；
（2）根据题意得：w1+w2＝5，
∴0.4x+（﹣0.2x2+1.6x）＝5，
∴﹣0.2x2+2x﹣5＝0，
解得：x1＝x2＝5．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，
则w2＝﹣0.2（2x）2+1.6×2x＝﹣0.8x2+3.2x，
根据题意得：w1+w2≥3x×60%，
∴0.4x+（﹣0.8x2+3.2x）≥3x×60%，
∴﹣0.8x2+3.6x≥1.8x，
∴0≤x≤2.25；
∵获得总利润为不低于4千万元，
∴﹣0.8x2+3.6x﹣4≥0，
∴2≤x≤2.5．
综上所述，x的取值范围是2≤x≤2.5．
21．（2021•杭州模拟）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．
（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为y＝ax2，然后可进行求解；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．
【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设抛物线解析式为y＝ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m﹣3），
由抛物线经过点D和点B，可得：25a=m100a=m-3，
解得：a=-125m=-1，
∴抛物线的解析式为y=-125x2；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．
∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．
22．（2021•武汉模拟）某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为10元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设板栗售价为x元/千克（x≥10且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，直接写出该日板栗的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；
（3）若政府每日给板栗经销商补贴a元后（a为正整数），发现只有4种不同的单价使日收入不少于395元且不超过400元，请直接写出a的值．（日收入＝销售额+政府补贴）
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意得：395≤﹣2x2+54x+a≤400，由二次函数的对称性及只有4种不同的单价使日收入不少于395元且不超过400元，可知x的取值为12，13，14，15，计算可得a的值．
【解析】（1）根据题意得：34﹣2（x﹣10）＝24，
解得x＝15，
∴该日板栗的单价为15元/千克；
（2）根据题意得：
w＝x[34﹣2（x﹣10）]
＝﹣2x2+54x
＝﹣2(x-272)2+7292，
由题意得：10≤x≤15，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴当x＝13或14时，w有最大值，最大值为364元．
当x＝10时，w有最小值，最小值为：﹣2(10-272)2+7292=340（元）．
∴w关于x的函数表达式为w＝﹣2x2+54x，w的最大值为364元，w的最小值为340元；
（3）由题意得：395≤﹣2x2+54x+a≤400，
∵只有4种不同的单价使日收入不少于395元，4为偶数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为12，13，14，15，
当x＝12或15时，﹣2x2+54x＝360；当x＝13或14时，﹣2x2+54x＝364，
∵补贴a元后日收入不少于395元且不超过400元，360+35＝395，364+36＝400，
∴a的值为35或36．
23．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．

【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．
【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，
∴x≥5，
∴S＝﹣3x2+26x（x≥5）；
（2））解不等式组x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
24．（2021•洪山区模拟）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式；
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润．

【分析】（1）分段求解：①当2≤x＜8时，设直线AB解析式为：y＝kx+b，用待定系数法求解；②当x≥8时，y＝6；
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．根据利润等于销售总收入减去经营总成本，分段求解：①当2≤x＜8时，②当x≥8时，分别求得wA与wB并求和即可；
（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，用含m的式子表示出x，根据利润等于销售总收入减去经营总成本，分段求解：①当2≤x＜8时，②当x≥8时，分别求得wA与wB并求和，根据二次函数和一次函数的性质可求得最大利润，从而问题得解．
【解析】（1）①当2≤x＜8时，设直线AB解析式为：y＝kx+b，
将A（2，12）、B（8，6）代入得：
2k+b=128k+b=6，
解得k=-1b=14，
∴y＝﹣x+14（2≤x＜8）；
②当x≥8时，y＝6．
∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y=-x+14(2≤x＜8)6(x≥8)；
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．
当2≤x＜8时，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
当x≥8时，
wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48．
∴w关于x的函数关系式为：w=-x2+7x+48(2≤x＜8)-x+48(x≥8)；
（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，
∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，
化简得：x＝3m﹣60．
①当2≤x＜8时，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12，
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x2+7x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64，
∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，
此时m=643，m﹣x=523；
②当x≥8时，wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12，
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝48，
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共643吨，其中A类杨梅4吨，B类523吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．