沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用一等奖第1课时教案设计

这是一份沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用一等奖第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了创设情景等内容，欢迎下载使用。















课题
21.4.1二次函数的应用
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习


目标
1、经历数学建模的基本过程。


2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。


3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
重点
二次函数在最优化问题中的应用
难点
从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景


欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。














图1 图2























图3





对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的对称轴、顶点坐标和最值呢?


函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要性质，那么，我们怎么利用这个性质来解决实际问题呢？
学生观察图片并思考，回答老师问题。
通过回忆，“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.回忆学过的二次函数内容，吸引学生的注意力，快速进入高效课堂。
讲授新课
探究活动：


在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？


问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。


讲授新课：


在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。


所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。


思考：在应用二次函数求解问题的时候，基本步骤是什么？


总结：


得出解这类题的一般步骤：


二次函数求解问题的基本步骤:


第一步设自变量；


第二步建立函数的解析式；


第三步确定自变量的取值范围；


第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）


变式1、已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？





变式2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.


(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；


(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？


(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.





例2、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。


（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；


（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）





分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。


解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得


81.5=a•4502+0.5


解方程，得





因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。


（2）当x=450-100=350（m）时，得


；


当x=450-50=400（m）时，得


。


因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。


中考链接


如图16－1，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB 组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．


(1)求抛物线的解析式；


(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系











且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？









学生自学课本内容例题，锻炼了学生自学能力，为学生独立学习做铺垫．





























总结二次函数求解问题的基本步骤。

























































































学生要独立完成练习，然后进行展示，其他学生相互补充。















































由学生回答上面问题，老师作出结论。





















通过现实情景再现，让学生体会到二次函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.















































学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注二次函数的应用，也激发了学生学习的兴趣.






































通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.


















































通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.












作业
必做题: 随堂练习 P40





选做题: 习题21.4第1、2 题
独立完成
学生独立完成例题变式，养成独立完成作业的习惯



课堂小结
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？


解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？


（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；


（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.



引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法。
将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.



板书
21.4.1 二次函数的应用





1、二次函数的最值问题





2、二次函数求解实际问题的基本步骤