初中数学沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用第3课时教案及反思

21.4二次函数的应用

第2课时建立二次函数模型解决实际问题

教学目标

1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；

2．进一步体会数形结合的数学思想方法。

教学重难点

【教学重点】

将实际问题转化为数学问题。

【教学难点】  

建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。

课前准备

课件等。

教学过程

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

二、合作探究

探究点一：利用二次函数进行决策和判断

例1  某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示．

(1)求演员运动过程中距离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演能否成功？请说明理由．

解析：(1)转化为求二次函数y＝－x2＋3x＋1的最大值问题；(2)求x＝4时对应的y值，然后与BC比较，若等于3.4，即表演成功，否则就不成功．

解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.∵a＝－<0，∴函数有最大值为.∴演员运动过程中距离地面的最大高度是m；

(2)将x＝4代入函数关系式中得y＝3.4.∵BC＝3.4m，∴这次表演能成功．

方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系．

探究点二：二次函数的综合运用

例2  如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)和(2，0)，且BC＝2.直线AC与直线x＝4交于点E.求以直线x＝4为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E.

解析：以x＝4为对称轴的抛物线，我们一般可以设其对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，然后再根据抛物线经过点O与点C求出a与m的值．

解：由已知得点C的坐标为(2，2)．

设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－4)2＋m，∵该抛物线过点O(0，0)，C(2，2)，

∴解得

∴所求抛物线对应的函数关系式为y＝－(x－4)2＋.

设直线AC对应的函数表达式为y＝kx＋b，则解得

∴直线AC对应的函数表达式为y＝x＋，∴点E的坐标为(4，)．

当x＝4时，y＝－(x－4)2＋＝，∴抛物线一定过点E.

例3  跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．已知正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，手到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)如果小刚站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时恰好通过他的头顶，请你计算出小刚的身高；

(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合图象，写出t的取值范围．

解析：对于第(1)问，由题意可知E点的坐标为(1，1.4)，B点的坐标为(6，0.9)，将这两点的坐标代入y＝ax2＋bx＋0.9，可以求出抛物线对应的函数表达式；对于第(2)问，实质是求当x＝3时的函数值；对于第(3)问，

结合图象，并根据轴对称性求t的取值范围．

解：(1)由题意得点E(1，1.4)、B(6，0.9)在抛物线上，将它们代入y＝ax2＋bx＋0.9，得

解得

∴所求抛物线对应的函数表达式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；

(2)当x＝3时，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.∴小刚的身高是1.8米；

(3)由抛物线的轴对称性可知1<t<5.

三、板书设计

二次函数的综合应用

教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计、建立二次函数的数学模型，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况．