2023年宁夏吴忠三中中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2023年宁夏吴忠三中中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小欣同学用纸如图折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中(    )

A.  B.  C.  D.

3.  冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：，，，，，，关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是

4.  如图，与是位似图形，点是位似中心，、、分别是、、的中点，则与的面积比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

5.  从，，，，这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成正方形如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的一个锐角，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式 ______ ．

10.  第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数据用科学记数法表示为______．

11.  在函数中，自变量的取值范围是______．

12.  已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______ ．

13.  已知实数，是方程的两根，则的值为______．

14.  如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为          ．

 

15.  如图，矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，，则的长为______ ．

16.  某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______
参考数据：，结果按四舍五入保留一位小数

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上．
在图中作出关于直线对称的；要求与，与，与相对应
作出绕点顺时针方向旋转后得到的；
在的条件下直接写出点旋转到所经过的路径的长．结果保留

18.  本小题分
下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
填空：以上解题过程中，第二步是依据______ 运算律进行变形的．
第______ 步开始出现错误这一步错误的原因是______ ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集解集：______ ．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
吴忠三中开展主题为“交通与防溺水安全教育”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了：非常了解、：比较了解、：基本了解、：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：

频数分布表中 ______ ， ______ ，将频数分布直方图补充完整；
若该校有学生人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”交通和防溺水常识的学生共有多少人？
在“非常了解”防溺水常识的学生中，某班有个学生，其中男女，计划在这个学生中随机抽选两个加入防溺水志愿者宣传队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．

21.  本小题分
麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割公顷小麦，一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同．
一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
该农场安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台型收割机？

22.  本小题分
如图，在▱中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；连接并廷长交于点，连接
根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；
若，，求的大小．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段的长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接已知点，．
求、的值；
求的面积．

25.  本小题分
如图抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式；
抛物线上是否存在点，使的面积是面积的倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
同学们还记得吗？图，图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为______；
【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为，求四边形的面积；
【问题三】受图启发，兴趣小组画出了图：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
利用同底数幂的除法的法则对式子进行求解即可．
【解答】
解：

，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在盒子里面．
故选：．
在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提．根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】
解：数据，，，，，，中，出现的次数最多是次，因此众数是，于是选项不符合题意；
将这个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，于是符合题意；
，即平均数是，于是选项B不符合题意；
，因此方差为，于是选项C不符合题意；
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，点是位似中心，、、分别是、、的中点，
两图形的位似之比为：，
则与的面积比是：．
故选：．
根据两三角形为位似图形，且点是位似中心，、、分别是、、的中点，求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方即可求出面积之比．
此题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有，，，，，，，，共种，
这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．
故选：．
画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概率．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且．
故选：．
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设清酒斗，醑酒斗，
依题意得：．
故选：．
设清酒斗，醑酒斗，根据“拿斗谷子，共换了斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
大正方形的面积为，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
则，，
解得，或，不合题意，舍去，
，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于，就可以求出的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：多边形的各个内角都等于，
每个外角为，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据多边形的外角和是求出的值即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是这一关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：实数，是方程的两根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正六边形的边长为，
，，
，
，
过作于，

，，
在中，，
，
同理可证，，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
由正六边形的边长为，可得，，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，然后得出，进而得到，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，
由折叠可知：
，，，，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
连接，交于点，由折叠可知：，，垂直平分，再证，得到，在中，利用等积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．

则，，，，
设，
在中，，
解得，
则，
在中，，
解得，
．
故答案为：．
设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点设，在中，，解得，则，在中，，解得，根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示；

如图所示；

根据勾股定理，，
所以，点旋转到所经过的路径的长 

【解析】根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出点、绕点顺时针旋转后的、的位置，然后顺次连接即可；
利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】乘法分配律或分配律  五  不等式两边都除以，不等号的方向没有改变   

【解析】解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
，第五步
任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律运算律进行变形的；
第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
故答案为：乘法分配律或分配律，五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变．
任务二：该不等式的正确解集是．
故答案为：．
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为，依此即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

19.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，
人，
，
故答案为：，；

人，
答：该校学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有人；
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有种，
所以两个学生中至少有一个女生的概率为．
答：两个学生中至少有一个女生的概率为．
根据频率可计算出得出总数，进而求出、的值，并补全频数分布直方图；
根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体人中“非常了解”“比较了解”的人数；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生中至少有一个女生的概率．
本题考查频数分布直方图、频数分布表以及用列表法求简单的随机事件发生的概率，理解频率，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．
 

21.【答案】解：设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦公顷，一台型收割机平均每天收割小麦公顷．
设安排台型收割机，则安排台型收割机，
依题意得：，
解得：．
答：至少要安排台型收割机． 

【解析】设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间工作总量工作效率，结合一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排台型收割机，则安排台型收割机，根据要确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
．
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
连结，交于．

，
，
，
，
，
是等边三角形，
． 

【解析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、作图基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，等边三角形的判定与性质，属于中考常考题型．
先证明≌，推出，由，推出，得到，由此即可证明；
连结，证明是等边三角形即可．
 

23.【答案】证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，
平分，
．
，
，即．
，
．
为圆的半径，
是圆的切线．
证明：，
．
，
．
，，
，
∽．
解：为直角三角形，
，
．
，，
，
垂直平分，
．
为圆的直径，
．
在中，，即，
．
∽，
，
则． 

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
由与平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
由三角形为直角三角形，利用勾股定理求出的长，再由垂直平分，得到，根据的相似得出比例式计算即可．
 

24.【答案】解：如图，作轴于，

则∽，
，
，
，
点，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
作轴于，
． 

【解析】由点在一次函数的图象上，代入求得，作轴于，则∽，得出的横坐标为，代入直线关系式即可求出的坐标，从而求出的值；
根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，找出的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，点，
，
解得，，
抛物线的解析式：；
存在，理由如下：
，
点坐标为，
令，则，
点坐标为，
又点坐标为，
轴，
，
设抛物线上的点坐标为，
，
当时，
解得，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或． 

【解析】待定系数法求解析式即可；
设抛物线上的点坐标为，结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，
故答案为：；

【问题二】如图，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
≌，
，
；

【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
当时，如图，延长，相交于点，

四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；

当时，如图，
同的方法得，∽，
，
，
，
或；

当时，如图，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同的方法得，四边形是矩形，
，，，
同的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同的方法得，∽，
，
，
，
，
即的长度为或或或．
【问题一】利用判断出≌，即可得出答案；
先求出，再利用判断出≌，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．