2023年宁夏石嘴山市大武口区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年宁夏石嘴山市大武口区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示年前三季度某地区新注册登记新能源汽车辆，其中用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是我市某周内日最高气温的折线统计图，关于这天的日最高气温的说法错误的是(    )

A. 最大值与最小值的差是 B. 中位数是
C. 众数是 D. 平均数是

5.  如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安。同几何日相逢？
译文：甲从长安出发，日到齐国。乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发。问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程。(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

11.  大武口青山公园地上有一排大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧如图所示，他量了下两砖之间的距离刚好是，聪明的你，请帮小明算出大理石球的半径是______ ．

 

12.  如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，连接，，，则______．

13.  如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为______．

14.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为          ．
 

15.  把图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图，图所示的正方形，则图中菱形的面积为______．

 

16.  随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内楼与之间的距离的长为______ 结果精确到参考数据：，，，

 

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
中国清朝末期的几何作图教科书最新中学教科书用器画由国人自编图，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题保留作图痕迹，不写作法；
根据完成的图，直接写出，，的大小关系．

 

20.  本小题分
扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人．已知型每个进价比型的倍少元．采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

21.  本小题分
如图：在正方形中，点在上，延长到使，连接、、．
求证：；
如果，，求的长．

22.  本小题分
国家航天局消息：北京时间年月日，搭载翟志刚、王亚平、叶光富名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，圆满完成本次航天任务某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为：不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：
此次调查中接受调查的人数为______ 人；补全条形统计图；
该校共有人，根据调查结果估计该校“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
某班有名同学分别记为，，，，其中为小明非常关注航天科技，班主任要从中随机选择两名给班内同学做一次航天知识分享课请利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

23.  本小题分
如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若．
求证：为的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底、相距，头顶离地，相距的双手、离地均为点、、、、在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底、两点，且甩绳形状始终保持不变．
求经过脚底、时绳子所在抛物线的解析式．
判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．

 

25.  本小题分
如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，，点与点关于原点对称，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点．
求证：．
求反比例函数的解析式．
动点从点到点，动点从点到点，都以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒，当为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？

26.  本小题分
如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．

把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
如图，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
由可知，图中的为等腰三角形，现将图中的点沿向右平移至点处点在点的左侧，如图，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
在图中，当时，将矩形纸片继续折叠如图，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，立方根，平方根对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的乘法，立方根，平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看有两层，底层是三个正方形，上层的左边是一个正方形．

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由折线统计图知这天的最高气温为：，，，，，，，
最大值与最小值的差是：，故选项A说法正确，不符合题意；
中位数是，故选项B说法错误，符合题意；
众数是，故选项C说法正确，不符合题意；
平均数是，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：．
先根据折线统计图，将这天的最高气温从小到大排列，再依据众数、中位数、加权平均数以及极差的概念分别求解即可得出答案．
本题考查折线统计图，众数，中位数，加权平均数以及极差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、．
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：．
画树状图，可知共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作图可知，平分，
，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，是的垂直平分线，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C.，，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
D.，，
；
故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
 

7.【答案】 

【解析】解：设甲经过日与乙相逢，则乙已出发日，
依题意，得：。
故选：。
设甲经过日与乙相逢，则乙已出发日，根据甲行驶的路程乙行驶的路程齐国到长安的距离单位，即可得出关于的一元一次方程，此题得解。
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键。
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．
连接，，得出是等边三角形，求出和，那么阴影面积，代入计算即可．
【解答】解：如图，连接，，作于点，则．
，，
，，，
，
，
，
，
，
阴影部分面积是：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
整理得，，
解得：．
故答案为：．
根据“当时，方程有两个不相等的两个实数根”求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示，过圆心作地面的垂线，交地面于点，连接，与交于点，
与地面平行，
，
为的中点，即，又，
设圆的半径为，则，
，
在中，根据勾股定理得：，即，
整理得：，
即，
解得：，
故答案为：．
经过圆心作地面的垂线，垂足为点，连接，交于点，可得出与垂直，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，设圆的半径为，即，在直角三角形中，，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为这个大理石球的半径．
此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，利用了方程的思想，结合图形构造直角三角形是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
为的中点，，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，，则，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
≌，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
与的周长之和，
故答案为：．
根据将绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，得到，在中，利用勾股定理得到，所以与的周长之和，即可解答．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
根据矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，即可证得，进而求得，再求出扇形的面积，即可得出答案．
【解答】
解：在矩形中，，，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积

．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，，，
设，，
由题意得：，
解得：，
，，
菱形的面积；
故答案为：．
由菱形的性质得出，，，设，，由题意得：，解得：，得出，，即可得出菱形的面积．
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，延长交于点，

由题意得：，，，，，
是的一个外角，，，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为，
故答案为：．
延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序．
 

19.【答案】解：如图，射线，即为所求．

． 

【解析】

【分析】
本题考查尺规作图，以及等边三角形的判定和性质，根据题意正确作出图形是解题的关键．
按题干直接画图即可；
连接，，可得和均为等边三角形，则，进而可得，，的大小关系．
【解答】
解：见答案；
．
理由：连接，，

则，，
即和均为等边三角形，
，
，
．  

20.【答案】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：每个型扫地机器人的进价为元，每个型扫地机器人的进价为元． 

【解析】设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进型扫地机器人的数量等于用元购进型扫地机器人的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每个型扫地机器人的进价，再将其代入中即可求出每个型扫地机器人的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
解：≌，
，
，，
设，则，
解得：，
，，
四边形是正方形，
，
． 

【解析】利用正方形的性质，根据证明≌，得；
根据正方形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质，根据证明≌解答．
 

22.【答案】 

【解析】解：调查人数为：人，
样本中调查结果为“非常关注”的人数为人，
补全条形统计图如下：

人，
答：该校共有人中“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数大约有人；
用树状图表示从、、、四人中随机选取人所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中小明被选中的有种，
所以小明被选中的概率为．
从两个统计图可得，样本中调查结果为不关注，关注，比较关注的人数为人，占调查人数的，根据频率即可求出调查人数；求出“非常关注”的人数即可补全条形统计图；
求出样本中“关注”、“比较关注”及“非常关注”的学生人数占调查人数的百分比，进而估计总体中“关注”、“比较关注”及“非常关注”的学生所占的百分比，进而求出相应的学生人数；
用树状图表示从、、、四人中随机选取人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的数量关系是正确解答的前提，掌握频率是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为的切线；
解：过点作于点，

在中，由勾股定理得，
，
，
，，
，，
． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质可证，，根据，可证，进而得，根据切线的判定可知是切线；
利用勾股定理求出的长，根据求出，进而可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．
 

24.【答案】解：建立如图所示的坐标系，结合题意可得：，，
双手、离地均为．
点坐标为：，
因为对称轴是轴，
所以可设抛物线解析式为：，
把点，坐标代入可得，
，
解得：，
所以抛物线为，
，
顶点为，
即跳绳顶点到手的垂直距离是
，
跳绳不过头顶，
小明此次跳绳不成功． 

【解析】建立如图所示的坐标系：结合题意可得：，由双手、离地均为，可得顶点坐标为：，再利用待定系数法求解解析式即可；
由可得不过头顶，从而可得答案．
本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：令，则，
，
令，则，
，
点，关于原点对称，
，
四边形是平行四边形，
，且，
，
，，
；
解：反比例函数的图象经过点，
；
反比例函数的解析式为：；
解：根据点，的运动可知，，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
，




，
，
当时，四边形的面积的最小值为． 

【解析】分别得出点和点的坐标，由对称性可得出点的坐标，根据平行四边形的性质可得出点的坐标，分别表达，的长度可得结论；
将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；
过点作于点，根据面积公式可得出四边形的面积与的函数关系，最后根据二次函数的性质可得出结论．
本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
 

26.【答案】证明：如图中，

四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，
四边形是矩形，
三角形是三角形沿过点的直线翻折后形成的，
，
四边形是正方形；
解：是等腰三角形，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
由翻折可知，，
，
，
是等腰三角形；
． 

【解析】解：见答案；
见答案；
如图中，

四边形是菱形，
，
由知，，
，都是等边三角形，设，
，
由翻折可知，，，
，
，，
由翻折可知，，，
，
．
故答案为．
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
证明即可解决问题．
证明，都是等边三角形，设，利用三角形的边角关系，求出，用表示即可解决问题．
本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．