初中数学人教版九年级上册25.1.2 概率教案设计

第25章《概率初步》小结与复习

一、教学目标

(一)知识与技能：回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再自我归纳和总结实验频率与理论概率的关系.

(二)过程与方法：能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验的方法，估计一些复杂的随机事件发生的概率.

(三)情感态度与价值观：形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神.

二、教学重点、难点

重点：运用列举法计算简单事件发生的概率

难点：用所学的概率知识去解决某些现实问题，理解实验频率和理论概率的关系.

三、教学过程

知识梳理

一、事件的分类及其概念

1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；
2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；
3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.

二、概率的概念

1.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A).
2.概率大小：

三、随机事件的概率的求法

1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定频率来估计概率.②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有的性质，不具有随机性.

2.概率的计算公式：
    一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是.
    如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率P(A)=

四、列表法

    当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法.

    在所有可能的情况n中，再找到满足条件的事件的个数m，最后代入公式计算.

四、树状图法

    当一次试验中涉及两个因素或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状图”.

考点讲练

考点一  事件的判断和概率的意义

例1 下列事件是随机事件的是(    )
  A.明天太阳从东方升起     B.任意画一个三角形，其内角和是360°
  C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰    D.射击运动员射击一次，命中靶心

针对训练

1.下列事件中是必然事件的是(    )
  A.从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
  B.小丹的自行车轮胎被钉子扎坏
  C.小红期末考试数学成绩一定得满分
  D.将油滴入水中，油会浮在水面上

2.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的概率是”的意思是(    )
  A.布袋中一定有2个红球和5个其他颜色的球
  B.如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中红球
  C.摸7次，就有2次摸中红球
  D.摸7次，就有5次摸不中红球

考点二  用列举法求概率

例2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是(    )
  A.     B.     C.     D.

例3 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.
(1)写出k为负数的概率；
(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经过二、三、四象限的概率.

解：(1)P(k为负数)=.

(2)画树状图如右图：
由树状图可知，k、b的取值共有6种情况，
其中k＜0且b＜0的情况有2种.
∴ P(一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限)=.

或(2)列表如右：
由表格可知，k、b的取值共有6种情况，
其中k＜0且b＜0的情况有2种.
∴ P(一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限)= .

针对训练

3.一个袋中装有2个黑球和3个红球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出另一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　)
  A.       B.       C.       D.

4.张三同学投掷一枚骰子两次，两次所投掷的点数分别用字母m、n表示.
(1)求使关于x的方程x2－mx＋2n＝0有实数根的概率；
(2)求使关于x的方程mx2＋nx＋1＝0有两个相等实根的概率.

解：(1)画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中满足△=m2-8n≥0的结果数为10，所以使关于x的方程x2-mx+2n=0有实数根的概率==.

(2)满足△=n2-4m=0的结果数为2，所以使关于x的方程mx2+nx+1=0有两个相等实根的概率==

列表如下：

考点三  用频率估计概率

例4 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与
概率，下列说法正确的是(    )
A.频率就是概率                B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关    D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

例5 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15％和45％，则布袋中白色球的个数最有可能是(    )
  A.24个     B.18个     C.16个     D.6个

针对训练

5.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球. 如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为____.

6.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
(1)随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值.
(2)请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积.

解：(1)根据统计表可得，k==

(2)由(1)得，圆的面积约占封闭图形ABC的，因此封闭图形ABC的面积约为3S圆=3π.

考点四  用概率作决策

例6 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球(小球除数字外，其余都相同)，另有3张背面完全一样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
(1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；

(2)小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则，规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢，否则，小莉赢；规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢，否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.

解：(1)列表如下

共有9种等可能结果；

解：(2)规则1：P(小红赢)= ，规则2：P(小红赢)=.
∵ ＞
∴ 小红选择规则1.

7.A、B两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满20元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同.规则是：①A超市把转盘甲等分成4个扇形区域、B超市把转盘乙等分成3个扇形区域，并标上了数字(如图所示)；②顾客一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止后指针所指数字之和为奇数时就获奖(若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止).

(1)利用树状图或列表法分别求出A、B两超市顾客一回转盘

获奖的概率；

(2)如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说

明理由.

解：(1)列表如下：

          甲转盘                  乙转盘

∴ P(甲)==，P(乙)=.

(2)选甲超市.理由如下：
∵ P(甲)＞P(乙)，∴ 选甲超市

能力提升

1.如图，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子(如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4)，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标).
(1)求点P落在正方形面上(含边界，下同)的概率；
(2)将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点P落在正方形面上的概率为25%？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由.

解：(1)列表如下：

结合图形和表格可知，点P落在正方形面上(含边界)的情况有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，因此概率是.

(2)如图所示，将正方形ABCD先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，平移后落在正方形面上的点P有(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)四个，概率为25%.

2.在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下.求小球下落到A、B、C三个位置的概率各是多少？

解：根据帕斯卡三角的仪器特点可画出如下树状图，得小球
下落到A、B、C三个位置的概率分别是，，.