初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数优秀课后复习题

第5章 二次函数

5.1二次函数

知识点01  二次函数的概念

二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

【即学即练1】下列函数中，是二次函数的是（       ）

A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1

【答案】C

【解析】A. y＝＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；       

B. y＝x2－(x＋1)2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；       

C. y＝－x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C

【即学即练2】二次函数中，的取值范围是（　　）

A． B． C． D．一切实数

【答案】C

【解析】解：∵函数是二次函数，

∴，

∴．

故选：C．

考法01  列二次函数关系式

【典例1】下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　）

①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．

考法02  根据二次函数的定义求参数

【典例2】已知二次函数y  ax2 2ax  3a2 3（其中x是自变量），当x  2时，y随x的增大而增大，且3  x  0时，y的最大值为9，则a的值为（       ）．

A．1或 B．或 C． D．1

【答案】D

【解析】∵二次函数y  ax2 2ax  3a2 3 (其中x是自变量)，

∴对称轴是直线，

∵当x⩾2时，y随x的增大而增大，

∴a>0，

∵3  x  0时，y的最大值为9，

又∵a>0，对称轴是直线，

，

∴在x=-3时，y的最大值为9，

∴x=-3时, ，

∴，

∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).

故选D.

题组A  基础过关练

1．下列函数中，是二次函数的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；B、是一次函数，不符合题意；C、是反比例函数，不符合题意；D、不是二次函数，不符合题意；故选：A．

2．正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（       ）

A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对

【答案】C

【解析】解：∵正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，

∴s与a之间的函数关系是二次函数．

故选：C

3．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（       ）

A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx

C．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对

【答案】D

【解析】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．

故选D．

4．二次函数的一次项系数是（       ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】C

【解析】解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；故选：C．

5．若是关于的二次函数，则的值为____．

【答案】2

【解析】解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，

解得：m=2．

故答案为：2．

6．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．

【答案】     3     -5     1

【解析】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，

故答案为：3，﹣5，1．

7．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）且．

【解析】（1）由题意得，，解得m=；（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.

题组B  能力提升练

1．下列函数中，是二次函数的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A、是二次函数，符合题意；B、是一次函数，不合题意；C、是反比例函数，不合题意；D、不是二次函数，不合题意；故选A．

2．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．全体实数

【答案】B

【解析】∵是关于x的二次函数，

∴，

∴，

故选B．

3．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（       ）

A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2

【答案】D

【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．

4．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图所示，

∵中，，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

，

即：．

故选：B．

5．某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（       ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系

【答案】B

【解析】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104，

∴S=，

∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，

故选B．

6．若是二次函数，则的值为______．

【答案】4

【解析】解：由题意得：，且，

解得：，

故答案为：．

7．当函数是二次函数时，a的值为_________．

【答案】

【解析】解：∵函数是二次函数，

∴且，

解得，

故答案为：．

8．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．

【答案】2019

【解析】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，

∴m2-m=1，

∴-3m2+3m+2022

=-3（m2-m）+2022

=-3+2022

=2019．

故答案为：2019．

题组C  培优拔尖练

1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：A、是一次函数，故A不符合题意；B、是反比例函数，故B不符合题意，

C、a=0时不是二次函数，故C不符合题意；D、是二次函数，故D符合题意；故选：D．

2．当函数 是二次函数时，的取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵函数 是二次函数，

∴a-1≠0，=2，

∴a≠1，，

∴，

故选D．

3．下列函数是二次函数的有（　　）

（1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】（1）函数是二次函数；（2）函数不是二次函数；（3）函数整理为，是二次函数；（4）只有当时，函数才是二次函数；（5）函数是一次函数；（6）函数整理为，是一次函数；综上，是二次函数的为（1）（3），共有2个，

故选：B．

4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（       ）

（1）                           （2）                                 （3）                           （4）

（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）

（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）

（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）

（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系）

A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）

C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）

【答案】A

【解析】解：根据题意分析可得：

（a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）；（b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）；（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）．

故选：A．

5．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A．不是二次函数关系，故此选项不符合题意；B．是二次函数关系，故此选项符合题意；C．y=2x-3是一次函数关系，故此选项不符合题意；D．y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数关系，故此选项不符合题意．故选B．

6．当_________时，函数是二次函数．

【答案】2

【解析】∵函数是二次函数，

∴m=2，

故答案为：2．

7．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______．

【答案】

【解析】解：∵正方形的边长是，且

∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm

∴矩形的面积为：

故答案为：

8．点是二次函数图像上一点，则的值为__________

【答案】6

【解析】解：∵点是二次函数图像上，

∴则．

∴

故答案为：6．

9．已知是二次函数，则a的取值范围是______________.

【答案】

【解析】解:要使是二次函数,则

a+1≠0

解得

所以当时, 是二次函数.

故答案为.