初中数学北师大版八年级下册3 不等式的解集精品精练

2.1-2.3 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集

知识点一 不等式的有关概念和性质

不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。

不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。

解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。

数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：

【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

不等式的性质：

基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即

若a>b,c<0，则ac<bc（或）

基本性质4：若a>b，则b<a。

基本性质5：若a>b>c，则a>c。

基本性质6：如果，，那么.

【注意】

1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。

2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。

【总结】

【题型一】判断不等式

【典题】（2022春·广东河源·八年级统考期中）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（　　）

A．5 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】运用不等式的定义进行判断．

【详解】解：①是不等式；

②是代数式，不是不等式；

③是等式，

④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，

⑤是不等式，

⑥是不等式．

不等式有①⑤⑥，共3个．

故选：C．

【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：>，<，≤，≥，≠．

巩固练习

1．（）（2022春·陕西西安·八年级统考期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（    ）

A．℃ B．℃ C．℃ D．℃

【答案】A

【分析】超过即大于，用不等式表示出来即可．

【详解】解：A、表示超过，选项符合题意；

B、表示低于，选项不符合题意；

C、表示不高于，选项不符合题意；

D、表示不高于，选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．

2．（）（2022春·河南驻马店·八年级校联考期中）我市某一天的最高气温是30℃，最低气温是20℃，则当天我市气温t（℃）变化范围是（　　）

A．20＜t＜30 B．20≤t≤30 C．20≤t＜30 D．20＜t≤30

【答案】B

【分析】根据不等式的定义进行选择即可．

【详解】解：∵这天的最高气温是30℃，最低气温是20℃，

∴当天我市气温t（℃）变化范围是20≤t≤30，

故选：B．

【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键．

3．（）（2022春·福建漳州·八年级福建省诏安第一中学校联考期中）下面给出6个式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝5；④a－b；⑤x＋3≤8；⑥3x≠0，其中不等式有（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．

【详解】解：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+3≤8；⑥3x≠0，这些都是不等式，共有4个，

故选：C．

【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．

【题型二】不等式的性质

【典题】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）已知，则一定有，“”中应填的符号是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可．

【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得，

∴“”中应填的符号是“”，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）若，下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．

【详解】解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意；

B. 在不等式两边同时乘以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意；

C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意；

D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．

2．（）（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）若，，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由不等式的性质即可判断．

【详解】解：∵x+a＜y+a，

∴由不等式的性质1，得x＜y，

∵ax＞ay，

∴a＜0．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．（）（2022秋·陕西西安·八年级期末）如果，，那么下列不等式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质解答即可．

【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意；

B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；

C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；

D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

4．（）（2022春·广东河源·八年级统考期中）若，则x一定是（    ）

A．零 B．负数 C．非负数 D．负数或零

【答案】D

【分析】根据绝对值的性质可得，求解即可．

【详解】解：∵

∴，解得

故选D

【点睛】此题考查了绝对值和不等式的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值和不等式的有关性质．

5．（）（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）

A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q

【答案】D

【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．

【详解】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．

故选D．

【点睛】考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键．

6．（）（2022春·广东佛山·八年级期末）若，且，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质3，可得，即可求解

【详解】解：，且，

即

故选D

【点睛】本题考查了不等式的性质3，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

7．（）（2022春·河南濮阳·八年级校考期中）已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是__________．

【答案】-1

【分析】根据题目的已知可得a−1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．

【详解】解：由题意得：a−1＜0，

∴a＜1，

∴1−a＞0，a−2＜0，

∴|1−a|−|a−2|＝1−a−（2−a）＝1−a−2＋a＝−1，

故答案为：−1．

【点睛】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

8．（）（2022秋·浙江·八年级期中）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．

【答案】＞

【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变．

【详解】∵a＜b，

∴﹣2a＞﹣2b，

∴﹣2a+9＞﹣2b+9，

故答案是：＞

9．（）（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）已知．

(1)比较与的大小，并说明理由．

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)3−x＜3−y

(2)a＞0

【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；

（2）根据不等式的基本性质解答即可．

【详解】（1）解：∵x＞y，

∴−x＜−y，

∴3−x＜3−y；

（2）∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，

∴a＞0．

【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．

10．（）（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)若a－b＞0，则a             b；

(2)若a－b＝0，则a               b；

(3)若a－b＜0，则a              b.

这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．

请运用这种方法尝试解决下面的问题：

比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小．

【答案】（1）＞；（2）=；（3）＜；（4）4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1

【分析】（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；

（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b即可；

（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；

（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．

【详解】（1）因为a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；

（2）因为a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；

（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b．

（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）

=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1

=b2+3

因为b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．

故答案为＞、=、＜、4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．

【点睛】（1）本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．

【题型三】不等式的解集

【典题】（2022春·福建三明·八年级统考期中）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的解与不等式的解集之间的关系求解即可．

【详解】解：依题意，是某不等式的解，则不等式的解集应包含，

故选择：C．

【点睛】本题主要考查不等式的解集与不等式的解，明确不等式得解集与不等式的解之间的关系是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列x的值中，是不等式x＞3的解的是(   )

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据不等式的解集定义即可判断．

【详解】∵不等式x＞3的解集是所有大于3的数，

∴4是不等式的解．

故选D．

【点睛】此题主要考查不等式的解集，解题的关键是熟知不等式的解与解集的关系．

2．（）（2022春·全国·八年级期末）下列说法中正确的是(    )

A．y＝3是不等式y＋4＜5的解 B．y＝3是不等式3y＜11的解集

C．不等式3y＜11的解集是y＝3 D．y＝2是不等式3y≥6的解

【答案】D

【详解】A. 代入不等式得：,不是不等式的解,故A错误.

B. 不等式的解集是：,故B错误.

C.不等式的解集是：故C错误.

D. 是不等式的解.故D正确.

故选D.

3．（）（2021春·全国·八年级期中）若不等式的解集是，则必满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案．

【详解】解： 不等式的解集是，

＜

＜

故选：

【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键