【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修二：第19讲 空间图形的表面积和体积 讲义

第19讲  空间图形的表面积和体积

知识点01  空间图形的表面积

1.直棱柱及其侧面积和表面积

(1)直棱柱、正棱柱的概念

侧棱和底面垂直的棱柱叫作          。特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作          。直棱柱的侧棱长就是直棱柱的          (两底面所在平面之间的距离)。

(2)直棱柱的侧面积和表面积

将直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是直棱柱的          。如图，直棱柱的侧面展开图是          ，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h.因此，直棱柱的侧面积是          ，表面积是          。

2.正棱锥及其侧面积和表面积

(1)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为          。正棱锥的侧棱长都          ，侧面均为全等的          。

(2)正棱锥的侧面积和表面积：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的，如图所示。如果正n棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h' ，则它的侧面积为          ，表面积为          。

3.正棱台及其侧面积和表面积

(1)正棱台的概念：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作          。正棱台的侧棱长都          ，侧面均为全等的          。

(2)正棱台的侧面积和表面积

正n棱台的侧面展开图是由n个全等的等腰梯形组成的，如图：设正n棱台的上、下底面边长分别是a'，a，斜高为h'，则正n棱台的侧面积          ，表面积

          ，其中c'，c分别是上、下底面的周长。

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及表(侧)面积公式

（1）圆柱

；；。其中,r是底面半径,l是母线长。

（2）圆锥

；；。其中,r是底面半径,l是母线长。

（3）圆台

；，；。其中,r',r分别是上、下底面半径,l是母线长。

【微点拨】求空间几何体的表面积(侧面积)

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何表面积问题的主要出发点。

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理。

【即学即练1】毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（    ）平方米.

A． B． C． D．

知识点02  空间图形的体积

1.柱体的体积

 (S是底面面积，h是柱体高)，(r是底面半径,h是高).

2.锥体的体积

 (S是底面面积，h是锥体高)， （r是底面半径，h是高).

3.台体的体积

 （S'、S分别是上、下底面面积，h是台体高)，

 （r',r分别是上、下底面半径，h是高).

【微点拨】求空间几何体的体积

(1)若所给的几何体是可直接用公式求体积的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解。

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法或补形法等方法进行求解。

【即学即练2】已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C．1 D．

知识点03  球的表面积和体积

1.球的表面积

设球的半径为R，那么它的表面积          。

2.球的体积

设球的半径为R，那么它的体积           。

3.解决与球有关的切、接问题的策略

(1)“接”的处理

①构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题；

②空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当          (过球心或接点等)；

③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面来确定          所在直线。

(2)“切”的处理

①体积分割法求内切球半径；

②作出合适的截面(过球心或切点等)，在平面上求解；

③多球相切问题，连接各球          ，转化为处理多面体问题。

【即学即练3】已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

考法01  空间图形的表面积

【典例1】某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（    ）．

A． B．

C． D．

考法02  空间图形的体积

【典例2】在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ）

A． B． C． D．

考法03  球的表面积和体积

【典例3】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

题组A  基础过关练

1．长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ）

A． B． C． D．

3．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（　　）

A．  B．或

C． D．或

4．用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（　　）

A． B． C． D．

5．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为（　　）

A．4 B．8 C．6 D．2

6．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．

7．已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为___________.

8．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______.

9．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

10．已知圆柱的体积为，侧面积为．

(1)求圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；

(2)以上底面圆的圆心和下底面圆构成圆锥，求此圆锥的表面积．

题组B  能力提升练

1．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（    ）

A． B． C． D．

3．如图在RtABC中，AB＝BC＝6，动点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形BDEF为矩形，剪去矩形BDEF后，将剩余部分绕AF所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．3

4．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ）

A．多面体有12个顶点，14个面

B．多面体的表面积为3

C．多面体的体积为

D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

5．已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．

6．已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，当三棱锥体积最大时的高为6，则球O的表面积为__________．

7．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.

8．已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______.

9．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．

(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；

(2)当P在线段上移动时，求的最小值．

10．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，

(1)将S表示为x的函数；

(2)求V的最大值．

题组C  培优拔尖练

1．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（    ）

A．24 B．44 C． D．

2．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ）

A．平面 B．三棱锥的体积为4

C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为

4．（多选题）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（    ）

A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交

C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为

D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大

5．（多选题）如图，正方体中E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．点与点到平面的距离相等

D．平面截正方体所得大小两部分的体积比为

6．中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______．

7．正多面体与正多边形一样， 具有很多优美的性质， 也是立体几何学习中的常见模型.在棱长为 1 的正方体中， 分别将 6 个正方形的中心点依次记为 给出下列结论:

①正方体的所有截面中， 正多边形只有正三角形和正方形;

②以为顶点连成一个几何体， 这个几何体是正八面体;

③三棱锥是正四面体， 它的外接球半径是；

④将②中多面体MNPQRS的各个面的中心标出， 用线段将这些中心点连成几何体， 可以得到一个新的正方体，它的棱长是.则其中正确的有________.

8．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．

(1)求证：；

(2)若，求三棱锥的体积．

(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．

9．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，P为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱上．

(1)求证：∥平面；

(2)求证：平面∥平面；

(3)求多面体的体积．

10．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为．

(1)求四棱锥的体积；

(2)若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

(3)求二面角的正切值．