苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第1课时综合训练题

第1课时　向量的加法

1．向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法．

注意：任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.

对于零向量和任一向量a，我们规定0＋a＝a＋0＝a.

2．向量求和的法则

3.向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

1．化简＋＋等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.＋＋＝.

2．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0    B．    C．    D．

【解析】选D.因为正六边形ABCDEF，

所以＝，＝，

所以＋＋＝＋＋＝.

3．在菱形ABCD中∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．

【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，

因为∠DAB＝60°，

所以△BAD为等边三角形，

又因为||＝1，

所以||＝1，|＋|＝||＝1.

答案：1

4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．

【解析】如图所示，作＝a，＝b，

则a＋b＝＋＝.

所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，

因为∠AOB＝45°，

所以a＋b的方向是东北方向．

答案：8 km　东北方向

5．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.

【证明】＝＋，＝＋，

所以＋＝＋＋＋.

因为和大小相等、方向相反，

所以＋＝0，故＋＝＋＋0＝＋.

一、单选题

1．(2021·广州高一检测)在四边形ABCD中，若＝＋，则(　　)

A．四边形ABCD一定是平行四边形

B．四边形ABCD一定是菱形

C．四边形ABCD一定是正方形

D．四边形ABCD一定是矩形

【解析】选A.由题意得＋＝＋，

即＝，所以BC∥AD，且BC＝AD，

所以四边形ABCD一定是平行四边形．

2．(2021·哈尔滨高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则＋等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.因为D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，

所以DE∥AC，且DE＝AC＝AF，

因此＝，所以＋＝＋＝.

二、填空题

3．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________．

【解析】延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，

则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．

所以＝＋.

又＝－，

所以＋＋＝0.

答案：0

4．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝

________．

【解析】由平行四边形法则可知＋＝.

答案：

三、解答题

5．在水流速度为10 km/h的河中，如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．

【解析】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行驶的方向，

由＝＋，及＝且∠OBC＝90°，知＝20，∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向成120°角．

一、选择题

1．(2021·海口高一检测)式子(＋)＋(＋)＋化简结果是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.＋＋

＝(＋)＋＋＋

＝(＋)＋＋

＝(＋)＋

＝＋＝.

2．(2021·长沙高一检测)已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的(　　)

A．＋＝    B．＋＋＝0

C．＋＝    D．＋＝

【解析】选D.由题意，根据向量的加法运算法则，可得＋＝，故A正确；

由＋＋＝＋＝0，故B正确；

根据平行四边形法则，可得＋＝＝，故C正确，D不正确．

3．(多选)若向量a，b为非零向量，能使|a＋b|＝|a|＋|b|成立的是(　　)

A．a∥b且a与b方向相同

B．a，b是共线向量，且方向相反

C．a，b中至少有一个零向量

D．无论什么关系都可以

【解析】选AC.因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同，故A成立，C显然成立．

二、填空题

4．在平行四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是________．

【解析】由图知＝.

又＝＝，(或|＋|＝

|＋|＝||)

所以＝.

所以四边形ABCD为矩形．

答案：矩形

5．如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：

①＋＝________；

②＋＝________；

③＋＋＝________．

【解析】由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

①＋＝＋＝.

②＋＝＋＝.

③＋＋＝＋＋＝.

答案：①　②　③

三、解答题

6．(2021·南京高一检测)如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＋＝2.

【证明】根据平面向量的加法意义，得

＝＋＋，＝＋＋，

又因为E，F分别为AD，BC中点，

所以＋＝0，＋＝0；

所以2＝(＋＋)＋(＋＋)

＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋，

即2＝＋.