高中数学15.3 互斥事件和独立事件第1课时课时训练

这是一份高中数学15.3 互斥事件和独立事件第1课时课时训练，共8页。试卷主要包含了互斥事件的概念，互斥事件的概率，随机事件概率的性质，下列命题等内容，欢迎下载使用。


1．互斥事件的概念
(1)互斥事件：事件A与B不可能同时发生，这时，我们称A，B为互斥事件．
(2)对立事件：互斥事件A，C中必有一个发生，这时，我们称A，C为对立事件，记作C＝ eq \x\t(A) 或A＝ eq \x\t(C) .
2．互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
(2)互斥事件概率的推广
如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥．如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么
P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
3．随机事件概率的性质
(1)P( eq \x\t(A) )＝1－P(A)；
(2)当AB时，P(A)≤P(B)；
(3)当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
【解析】选B.A1＋A2＋A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发．
2．设事件A，B，已知P(A)＝ eq \f(1,4) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，P(A＋B)＝ eq \f(7,12) ，则A，B之间的关系一定为( )
A．互斥事件 B．两个任意事件
C．非互斥事件 D．对立事件
【解析】选A.因为P(A)＝ eq \f(1,4) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，P(A＋B)＝ eq \f(7,12) ，
所以有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≠1，
因此事件A，B是互斥事件，不是对立事件．
3．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则
P(B)＝________．
【解析】因为A，B为互斥事件，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3
4．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200克的概率为0.2，质量在[200，300]内的概率为0.5，那么质量超过300克的概率为________．
【解析】设质量超过300克的概率为P，
因为质量小于200克的概率为0.2, 质量在[200，300]内的概率为0.5，
所以0.2＋0.5＋P＝1，
所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.
答案：0.3
5．某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．
【解析】事件A“命中环数大于7环”包括“命中8环，命中9环，命中10环”；事件C“命中环数小于6环”包括“命中0环，命中1环，命中2环，命中3环，命中4环，命中5环”．
所以事件A与事件C为互斥事件，事件B与事件C为互斥事件，事件C与事件D是对立事件．
一、单选题
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0，0.9] B．[0.1，0.9]
C．(0，0.9] D．[0，1]
【解析】选A.由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.
2．从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”( )
A．是对立事件 B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件 D．都是不可能事件
【解析】选A.从4双不同的鞋中任意取出4只，可能的结果为：“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”，故事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只成对”．所以事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件．
3．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
【解析】选D.由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
4．将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则( )
A．A与B是对立事件
B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
【解析】选A.事件A包含的基本事件为向上的点数为1，2；
事件B包含的基本事件为向上的点数为3，4，5，6；
事件C包含的基本事件为向上的点数为1，3，5；
由于事件A，B不可能同时发生，且事件A，B的和事件为必然事件，所以A与B是对立事件
当向上一面的点数为3时，事件B，C同时发生，则B与C不互斥也不对立．
5．已知随机事件A和B互斥，且P(A＋B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P( eq \x\t(A) )＝( )
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
【解析】选A.因为事件A和B互斥，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋B)) ＝P(B)＋P(A)＝0.7，
则P(A)＝0.7－0.2＝0.5，
故P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) ＝1－P(A)＝0.5.
6．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为 eq \f(3,28) ，从盒中取出2个球都是黄球的概率是 eq \f(5,14) ，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
A． eq \f(13,28) B． eq \f(5,7) C． eq \f(15,28) D． eq \f(3,7)
【解析】选A.设“从中取出2个球都是红球”为事件A；“从中取出2个球都是黄球”为事件B；“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(3,28) ＋ eq \f(5,14) ＝ eq \f(13,28) ，
即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为 eq \f(13,28) .
二、多选题
7．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中不正确的选项是( )
A．① B．② C．③ D．④
【解析】选BCD.A中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确的；
B中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；
C不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；
D不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) ＝1.
8．在一个试验模型中，设A表示一个随机事件， eq \x\t(A) 表示A的对立事件．以下结论正确的是( )
A．P(A)＝P( eq \x\t(A) )
B．P(A＋ eq \x\t(A) )＝1
C．若P(A)＝1，则P( eq \x\t(A) )＝0
D．P(A eq \x\t(A) )＝0
【解析】选BCD.选项A，由对立事件的性质P(A)＋P( eq \x\t(A) )＝1, P(A)＝P( eq \x\t(A) )不一定正确；
由对立事件的概念得A＋ eq \x\t(A) ＝Ω，
即P(A＋ eq \x\t(A) )＝P(Ω)＝1，B正确；
由对立事件的性质P(A)＋P( eq \x\t(A) )＝1知，P(A)＝1－P( eq \x\t(A) )，故若P(A)＝1，则P( eq \x\t(A) )＝0，C正确；
由对立事件的概念得A eq \x\t(A) ＝，
即P(A eq \x\t(A) )＝P()＝0，D正确．
三、填空题
9．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 eq \f(2,5) ，且P(A)＝
2P(B)，则P( eq \x\t(A) )＝________，P( eq \x\t(B) )＝________．
【解析】由题意得P(A)＋P(B)＝1－ eq \f(2,5) ＝ eq \f(3,5) ，
因为P(A)＝2P(B)，
所以P(A)＝ eq \f(2,5) ，P(B)＝ eq \f(1,5) ，
所以P( eq \x\t(A) )＝1－P(A)＝ eq \f(3,5) ，P( eq \x\t(B) )＝1－P(B)＝ eq \f(4,5) .
答案： eq \f(3,5) eq \f(4,5)
四、解答题
10．某职员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
【解析】(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，
故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
11．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．(将频率视为概率).
【解析】(1)设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为A，B，C是互斥的，其概率分别为P(A)＝ eq \f(2,50) ＝ eq \f(1,25) ，P(B)＝ eq \f(1,50) ，P(C)＝ eq \f(3,50) ，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ eq \f(3,25) ，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为 eq \f(3,25) .
(2)乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为 eq \f(45,50) ＝ eq \f(9,10) ，故首次出现故障发生在保修期内的概率为 eq \f(1,10) .
一、选择题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．同时投掷3枚硬币，恰有两枚正面向上与至多一枚正面向上
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
2．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是 eq \f(2,5) ，都是黑球的概率是 eq \f(1,15) ，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是( )
A． eq \f(7,15) B． eq \f(8,15) C． eq \f(3,5) D． eq \f(14,15)
【解析】选B.由题意知，从袋中取出2个球的所有可能情况为2个都是红球，2个都是黑球，1个红球和1个黑球．由互斥事件的概率公式可得，取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是1－ eq \f(2,5) － eq \f(1,15) ＝ eq \f(8,15) .
3．(多选)下列说法中正确的是( )
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B)) ＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∪B)) ＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
【解析】选ABC.事件A与事件B互斥，则不可能同时发生，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B)) ＝0，A正确；
事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件 eq \x\t(A) ，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∪B)) ＝1，B正确；事件“至少两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，C正确；
“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，D错误．
二、填空题
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出红球或黑球的概率是________．
【解析】因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
所以摸出红球或黑球的概率是0.42＋0.3＝0.72.
答案：0.72
5．已知两个事件A和B互斥，记事件 eq \x\t(B) 是事件B的对立事件，且P(A)＝0.3，P( eq \x\t(B) )＝0.6，则P(A＋B)＝________．
【解析】由P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(B))) ＝0.6得P(B)＝0.4，且事件A与B互斥，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋B)) ＝P(A)＋P(B)＝0.7.
答案：0.7
6．甲射击一次，中靶概率是p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知 eq \f(1,p1) ， eq \f(1,p2) 是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程x2－x＋ eq \f(1,4) ＝0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为________．
【解析】由p1满足方程x2－x＋ eq \f(1,4) ＝0知p12－p1＋ eq \f(1,4) ＝0，解得p1＝ eq \f(1,2) ，因为 eq \f(1,p1) ， eq \f(1,p2) 是方程x2－5x＋6＝0的根，所以 eq \f(1,p1) · eq \f(1,p2) ＝6，解得p2＝ eq \f(1,3) ，
所以甲射击一次不中靶的概率为1－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) ，
乙射击一次不中靶的概率为1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
答案： eq \f(1,2) eq \f(2,3)
7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中为互斥事件的是________；为对立事件的是________．
【解析】由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C，B与D也是互斥事件．综上可得，A与B，A与C，B与C，B与D都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B，D满足B＋D为必然事件，故B与D是对立事件．
答案：A与B、A与C，B与C、B与D B与D
三、解答题
8．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}．
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝ eq \f(6,18) ＝ eq \f(1,3) .
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 eq \x\t(N) 表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于 eq \x\t(N) ＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 eq \x\t(N) 由3个基本事件组成，所以P( eq \x\t(N) )＝ eq \f(3,18) ＝ eq \f(1,6) ，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P( eq \x\t(N) )＝1－ eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,6) .
9．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏．抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种．从中任取一张，不中奖的概率为 eq \f(1,2) ，中二等奖或三等奖的概率是 eq \f(5,12) .
(1)求任取一张，中一等奖的概率；
(2)若中一等奖或二等奖的概率是 eq \f(1,4) ，求任取一张，中三等奖的概率．
【解析】设任取一张，中一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，它们是互斥事件．
由条件可得P(D)＝ eq \f(1,2) ，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝ eq \f(5,12) .
(1)由对立事件的概率公式知P(A)＝1－P(B＋C＋D)＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋C)) －P(D)＝1－ eq \f(5,12) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,12) ，所以任取一张，中一等奖的概率为 eq \f(1,12) ；
(2)因为P(A＋B)＝ eq \f(1,4) ，而P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋B)) ＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝ eq \f(1,4) － eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,6) ，又P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋C)) ＝P(B)＋P(C)＝ eq \f(5,12) ，所以P(C)＝ eq \f(1,4) ，
所以任取一张，中三等奖的概率为 eq \f(1,4) .品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
x＞3
0＜x≤1
1＜x≤2
x＞2
轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45