苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第2课时课时练习

第7章三角函数

7.2　三角函数概念

7.2.1　任意角的三角函数

第2课时　三角函数线

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 (　　)

A.正弦线PM,正切线A'T'

B.正弦线MP,正切线A'T'

C.正弦线MP,正切线AT

D.正弦线PM,正切线AT

答案C

解析由三角函数线的定义知C正确.

2.已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角α的终边在(　　)

A.y轴的非负半轴上 B.y轴的非正半轴上

C.x轴上 D.y轴上

答案D

解析由题意可知,sin α=±1,故角α的终边在y轴上.

3.角和角有相同的(　　)

A.正弦线 B.余弦线

C.正切线 D.不能确定

答案C

解析的终边互为反向延长线,故它们有相同的正切线.

4.(2021江苏通州中学月考)设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.c<a<b D.a<c<b

答案C

解析如图,作α=-1的正弦线,余弦线,正切线,则b=OM>0,a=MP<0,c=AT<0,且MP>AT.∴b>a>c,即c<a<b.

5.若单位圆中角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为　　　　. 

答案1

解析角α的终边在y轴上,其正弦线的长度为1.

6.若sin θ≥0,则θ的取值范围是　　　　　　　　　. 

答案[2kπ,2kπ+π](k∈Z)

解析sin θ≥0,如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ+π,k∈Z.

7.如果角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相同,那么α的值为　　　　. 

答案

解析∵角α(0<α<2π)的正弦与余弦符号相同,∴角α的终边在第一或三象限,又正弦线与余弦线的长度相等,∴α=或α=.

8.在同一直角坐标系中作出角的正弦线,角的余弦线和正切线,并比较sin,cos,tan的大小.

解如图,

在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1,的余弦线OM2、正切线AT.由=π-知M1P1=M2P2,

∴sinπ=sinπ.

又,易知AT>M2P2>OM2,

∴cos<sin<tan.

关键能力提升练

9.在[0,2π)上,满足cos α≥的α的取值范围是(　　)

A.0, B.,2π

C.0,∪,2π D.

答案C

10.若角α是三角形的内角,且sin α+cos α=,则这个三角形是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

答案D

解析当0<α≤时,由单位圆中的三角函数线知,sin α+cos α≥1,而sin α+cos α=,所以α必为钝角.

11.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是(　　)

A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β

B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β

C.若α,β是第三象限角,则cos α>cos β

D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β

答案D

解析角α的正弦线为有向线段EM,余弦线为有向线段OE,正切线为有向线段AS.角β的正弦线为有向线段FN,余弦线为有向线段OF,正切线为有向线段AT.在图1中,EM>FN,但OE<OF,故排除A;在图2中,EM>FN,但AS<AT(注意方向,此时向下),故排除B;在图3中,EM>FN(注意方向,此时向下),但OE<OF(注意方向,此时向左),故排除C;在图4中,EM>FN(注意方向,此时向下),但AS>AT(注意方向,此时向下),故选D.

12.若θ是第二象限角,则(　　)

A.sin>0 B.cos<0

C.tan<1 D.tan>1

答案D

解析∵θ是第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z.∴kπ+<kπ+(k∈Z).当k=2n,n∈Z时,2nπ+<2nπ+,此时,tan>tan=1.当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+<2nπ+,此时,由的正切线知tan>1.

13.(2021江苏宿迁中学月考)设P点为角α的终边与单位圆O的交点,且sin α=MP,cos α=OM,则下列命题成立的是(　　)

A.总有MP+OM>1

B.总有MP+OM=1

C.存在角α,使MP+OM=1

D.不存在角α,使MP+OM<0

答案C

解析当角α的终边不在第一象限时,MP+OM<1,MP+OM<0都有可能成立;当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时,MP+OM=1,故选C.

14.设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线,则以下不等式正确的是(　　)

A.MP<OM<0 B.OM<0<MP

C.OM<MP<0 D.MP<0<OM

答案B

解析分别作角的正弦线、余弦线,如图.∵sin=MP>0,cos=OM<0,∴OM<0<MP.故选B.

15.(多选)下列四个命题中,正确的有(　　)

A.α一定时,单位圆中的正弦线一定

B.单位圆中,有相同正弦线的角相等

C.α和α+π有相同的正切线

D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上

答案AD

解析单位圆中,α一定时,单位圆中的正弦线一定,故A正确;有相同正弦线的角可能不等,如,故B不正确;当α=时,α与α+π都没有正切线,故C错误;由三角函数线可知D正确.

16.(多选)(2021江苏宝应中学月考)在(0,2π)内,使得|sin x|>|cos x|成立的x的取值范围为(　　)

A. B.π,

C. D.

答案CD

解析|sin x|>|cos x|

可转化为x的正弦线的长度大于余弦线的长度,观察图形可知,在(0,2π)内,使得|sin x|>|cos x|成立的x的取值范围是∪.

17.若α∈,则sin α,cos α,tan α大小关系为　　　　　　　　. 

答案tan α>sin α>cos α

解析若α∈,画出三角函数线,sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT,

∵AT>MP>OM,∴tan α>sin α>cos α.

18.(2021江苏无锡锡山中学月考)函数y=lgsin x-+的定义域为　　　　　　　　　　　　. 

答案x2kπ+≤x<2kπ+π,k∈Z

解析由题意,自变量x应满足不等式组

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,

∴x2kπ+≤x<2kπ+π,k∈Z.

19.利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围.

(1)sin θ≥;

(2)-≤cos θ<.

解(1)图1中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即2kπ+≤θ≤2kπ+,k∈Z.

故θ的取值范围为θ2kπ+≤θ≤2kπ+,k∈Z.

(2)图2中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即2kπ-π≤θ<2kπ-或2kπ+<θ≤2kπ+π,k∈Z.

故θ的取值范围为θ2kπ-≤θ<2kπ-或2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.

20.求函数y=的定义域.

解为使y=有意义,

则3tan x-≥0,

所以tan x≥,

所以角x终边所在区域如图所示,

所以kπ+≤x<kπ+,k∈Z,

所以原函数的定义域是xkπ+≤x<kπ+,k∈Z.

学科素养拔高练

21.已知α是锐角,求证:1<sin α+cos α<.

证明设

角α的终边与单位圆交于P(x,y),过P作PQ⊥OA,PR⊥OB,Q,R为垂足,连接PA,PB,如图所示.

∵|PQ|=y=sin α,|OQ|=x=cos α,

又在△OPQ中,|QP|+|OQ|>|OP|,

∴sin α+cos α>1.

∴S△OAP=|OA|·|QP|=y=sin α,

S△OBP=|OB|·|RP|=x=cos α,

S扇形OAB=×12=.

又S△OAP+S△OBP<S扇形OAB,

∴sin α+cos α<,即sin α+cos α<.

综上可知,1<sin α+cos α<.