苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念导学案及答案

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A.eq \r(π) B．0
C．1 D．无法确定
答案 C
解析 对任意角α，都有sin2α＋cs2α＝1.
2．已知sin x＝3cs x，则sin xcs x的值是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,9)
答案 C
解析 由sin x＝3cs x得tan x＝3，
所以sin xcs x＝eq \f(sin xcs x,sin2x＋cs2x)＝eq \f(tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,32＋1)＝eq \f(3,10).
3．(多选)下列各函数值符号为正的是( )
A．sin(－1 000°) B．cs(－2 200°)
C．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)π)) D.eq \f(sin \f(7π,10)cs π,tan \f(17π,9))
答案 ABD
解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
cs(－2 200°)＝cs(－40°)＝cs 40°>0；
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π－\f(π,3)))<0；
eq \f(sin \f(7π,10)cs π,tan \f(17π,9))＝eq \f(－sin \f( 7π,10),tan \f(17π,9))＝eq \f(sin \f(3,10)π,tan \f(π,9))>0.
4．若f(sin x)＝cs(2 022x)，则f(cs x)等于( )
A．sin 2 022x B．cs 2 022x
C．－sin 2 022x D．－cs 2 022x
答案 D
解析 因为cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))，
所以f(cs x)＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 022\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 022×\f(π,2)－2 022x))
＝－cs 2 022x.
5．下列三角函数：①sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nπ＋\f(4π,3)))(n∈Z)；
②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,6)))(n∈Z)；
③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))(n∈Z)；
④cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π－\f(π,6)))(n∈Z)；
⑤sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π－\f(π,3)))(n∈Z)，其中与sin eq \f(π,3)数值相同的是( )
A．①② B．②③④
C．②③⑤ D．①③⑤
答案 C
解析 ①sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nπ＋\f(4π,3)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)，n为奇数，,－sin \f(π,3)，n为偶数；))
②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,6)＝sin eq \f(π,3)；
③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)；
④cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π－\f(π,6)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋π－\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－sin eq \f(π,3)；
⑤sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋π－\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3).
因此与sin eq \f(π,3)数值相同的是②③⑤.
6．sin(π－α)sin(π＋α)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝________.
答案 －1
解析 sin(π－α)sin(π＋α)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin2α－cs2α＝－1.
7．已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(5,12)，则sin α＝________.
答案 －eq \f(5,13)
解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.
由tan α＝－eq \f(5,12)得eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12)，
∴cs α＝－eq \f(12,5)sin α，
由sin2α＋cs2α＝1得sin2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)sin α))2＝1，
∴eq \f(169,25)sin2α＝1，sin α＝±eq \f(5,13).
∵sin α<0，∴sin α＝－eq \f(5,13).
8．若tan α＋eq \f(1,tan α)＝3，则sin αcs α＝________，tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝________.
答案 eq \f(1,3) 7
解析 ∵tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(1,cs αsin α)＝3，
∴sin αcs α＝eq \f(1,3)，
tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan α＋\f(1,tan α)))2－2＝9－2＝7.
9．当θ＝eq \f(5π,4)时，eq \f(sin[θ＋2k＋1π]－sin[ －θ－2k＋1π],sinθ＋2kπcsθ－2kπ)
(k∈Z)的值是________．
答案 2eq \r(2)
解析 eq \f(sin[θ＋2k＋1π]－sin[－θ－2k＋1π],sinθ＋2kπcsθ－2kπ)
＝eq \f(－sin θ－sin θ,sin θcs θ)＝eq \f(－2,cs θ)，
当θ＝eq \f(5π,4)时，原式＝eq \f(－2,cs θ)＝eq \f(－2,cs \f(5π,4))＝eq \f(－2,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4))))＝eq \f(－2,－cs \f(π,4))＝2eq \r(2).
10．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)．
求：(1)eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解 因为关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cs θ，所以sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
由Δ＝(eq \r(3)＋1)2－8m≥0，得m≤eq \f(2＋\r(3),4)，
(1)eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin θ,1－\f(cs θ,sin θ))＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)
＝eq \f(sin θ－cs θsin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)∵(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θ·cs θ＝1＋2×eq \f(m,2)＝1＋m，
(sin θ＋cs θ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))2＝eq \f(4＋2\r(3),4)＝eq \f(2＋\r(3),2)＝1＋eq \f(\r(3),2)，
∴1＋m＝1＋eq \f(\r(3),2)⇒m＝eq \f(\r(3),2)，满足m≤eq \f(2＋\r(3),4).
(3)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θ·cs θ＝\f(m,2)＝\f(\r(3),4)))，
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2).))
∴原方程的两根为eq \f(1,2)和eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈(0,2π)，∴当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2),cs θ＝\f(\r(3),2)))时，θ＝eq \f(π,6)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2),cs θ＝\f(1,2)))时，θ＝eq \f(π,3).