【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.4.2 超几何分布 讲义

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7.4.2 超几何分布
课程标准
课标解读
1． 理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系；
2． 根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差；
3． 在实际问题中能用超几何概型解决实际问题.
通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题.




知识点1 超几何分布
1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，
k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式

X
0
1
…
m
P


…

则称随机变量X服从超几何分布．

2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．
3.对超几何分布的理解
（1）在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
（2）若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
（3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布
超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.
【即学即练1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
【解析】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．

【即学即练2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
【解析】(1)设甲班的学生人数为M，则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝＋＝＋＝.

【即学即练3】有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是(　　)
A．n B.
C. D.
【解析】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝.故选C

【即学即练4】某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
【答案】(1)；
(2)的分布列见解析，.
（1）
从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）
依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：








.

知识点2 超几何分布和二项分布的区别和联系
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；
（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
注：（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
【即学即练5】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P




∴X的均值为
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P





考点一 对超几何分布的理解
解题方略：
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
【例1-1】【多选】下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故选ABD

变式1：下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
【答案】答案见解析
【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．


变式2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.

考点二 超几何分布的概率
解题方略：
求超几何分布的分布列的步骤

【例2-1】某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
【解析】由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．


【例2-2】一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0 C．P(X＝1) D．P(X＝2)
【解析】本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．故选B


【例2-3】在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.故选C

变式1：从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)
A. B.
C．1－ D.
【解析】设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.故选D

变式2：在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝＝，当1个正品3个次品时，P＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.故选A.

变式3：从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．
【解析】(1)设任取一件产品是二等品的概率为p，
依题意有P(A)＝p2＝0.04，
解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P




变式4：某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【解析】(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P




变式5：吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．
(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,
其中恰有1个肉粽的可能选法有种,
∴由古典概型的概率计算公式有.
（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，
所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，
故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.
（3）由题意知，ξ可能取的值为，则
∴，，，
故ξ的分布列为：

0
1
2




则的期望为.

变式6：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．
【答案】(1) (2)，．
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”， 表示“恰好选出2名语文教师”，
则，彼此互斥，且，
，
选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，，1，2，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，
于是，

考点三 二项分布与超几何分布
解题方略：
二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
【例3-1】(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；
(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．
【解析】(1)任取一件得到次品的概率为＝0.1，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.590 49
0.328 05
0.072 9
0.008 1
0.000 45
0.000 01

(2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．

变式1：袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为，求的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
（1）
由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为，
其中每次抽取到黑球的概率均为，
所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则，
可得：，
，
，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2




；
（2）
若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分别列为：

0
1
2




.

变式2：甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲通过面试的概率较大
【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：

1
2
3




由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.

变式3：某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用作业的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“作业”的学生，用“”表示该使用“作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差和的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为；
(3)；
（1）
在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
（2）
依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
P



故
（3）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.

考点四 超几何分布的综合应用
【例4-1】年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：

(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)轮
【详解】（1）解：“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：










所以．
（2）解：记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，故至少要进行27轮测试．
变式1：近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表：
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
需看护学生人数
20
18
27
30
24
23
32
35
21
20
已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护．
(1)若将上述表格中人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
解：若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，
其中班级代号为1，2的两个班合班看护共种不同的方法．
记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率.
（2）
解：随机变量的可能取值为，
可得，，，，
则的分布列为：

0
1
2
3





所以数学期望
变式2：据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析；（3）期望是，方差是.
【详解】解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：








（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.


题组A 基础过关练
1、【多选】下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【解析】由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.

2、盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（       ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【答案】C
【解析】
【分析】
利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.
【详解】
对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选C.

3、盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝________.
【解析】E(ξ)＝＝.

4、盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】根据题意，得P＝＝.故选C
5、某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________.
【解析】依题意，甲能通过的概率为
P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.
由于P(X＝2)＝＝，
方法一　故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.
方法二　E(X)＝＝3.

6、数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________
【答案】
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
7、一个箱子里装有大小相同、质地均匀的红球3个、白球2个，从中随机摸出3个球，设摸出红球的个数为，则________，________.
【答案】         
【解析】
【分析】
分析可得的所有可能取值为1,2,3,根据超几何分布的概率公式分别解得,,,再由期望公式和方差公式求解即可.
【详解】
由题意知,的所有可能取值为1,2,3,且,,,
所以,,
故答案为:；
【点睛】
本题考查超几何分布的应用,考查求离散型随机变量的期望与方差.
8、某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______．
【答案】24
【解析】
【分析】
依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差；
【详解】由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差．
故答案为：
9、一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.
（1）求，的分布列；
（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，，分别服从二项分布和超几何分布，利用对应的概率公式计算概率，列出分布列即可；
（2）利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解
【详解】
（1）随机变量的可能取值为0，1，2，
且，
，，
.
因此的分布列为

0
1
2




随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，
，，.
因此的分布列为

0
1
2




（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，
所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.

题组B 能力提升练
10、一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为(　　)
A. B. C. D．以上都不对
【解析】设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为P(X＝2)＝＝.故选A

11、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝________，随机变量X的均值E(X)＝________.
【解析】X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝，E(X)＝＝0.6.

12、数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．
【解析】设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
13、【多选】10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】由题意知，＝，整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.故选BD

14、盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【解析】设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
15、已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为，求随机变量的分布列和期望.
【答案】分布列答案见解析，数学期望：
【详解】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为

0
1
2
3






期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3





期望.

16、【多选】袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（     ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
【答案】BD
【详解】A：取出白球个数X可能为0、1、2、3、4，则，，，，，
所以，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误；
B：同A，取出黑球个数Y可能为0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；
C：由A知取出2个白球的概率为，错误；
D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率为，正确.
故选：BD

题组C 培优拔尖练
17、50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
【解析】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
18、一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
【解析】当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A，P(X＝2)＝＝.故选D.

19、在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
而P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

20、在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率．
(2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列．
【答案】(1)；
(2)答案见解析﹒
【详解】（1）现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，
从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
基本事件总数，
其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有：
．
接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．
（2）设表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，

的分布列为：

0
1
2
3
4







21、每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为，求的分布列及.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
（1）
由概率和为1得：，
解得：；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为

0
1
2
3





所以

22、某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.

(1)估计实验园的“大果”率；
(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X，求X的分布列；
(3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（，）个，设其中恰有2个“大果”的概率为P(n)，当P(n)最大时，写出n的值.
【答案】(1)60%
(2)分布列见解析
(3)6
（1）
由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为，所以估计实验园的“大果”率为60%.
（2）
由题中对照园的频率分布直方图得，这100个果者实中大果的个数为.采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，其中大果有个，
从这10个果实中随机抽取3个，其中“大果”的个数X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




（3）
由题可知，，，
要使最大，则且，
∴，又∵，∴.