高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念精品当堂检测题

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5.2    三角函数的概念 思维导图 新课标要求1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义2.理解同角三角函数的基本关系式 知识梳理一、任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．三、公式一sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．四、同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 名师导学知识点1    任意角三角函数的定义及应用（重点）利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝.(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．【例1-1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（    ）A． B． C．– D．–【例1-2】（2021·山东德州·高一期末）已知角的终边上一点的坐标是，其中，求，，的值.        【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ）A． B． C． D．【变式训练1-2】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（    ）A． B．1 C．2 D．【变式训练1-3】（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，且满足．(1)若为第二象限角，求值；(2)求的值．         知识点2    三角函数值符号的运用判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．【例2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（    ）A． B． C． D．【例2-2】（2022·四川达州·高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，，，则角为（    ）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【变式训练2-1】（2021·全国·高一专题练习）若 是第二象限角，则点 在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式训练2-2】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知是第一象限角，若，那么是（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点3    公式一的应用利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．【例3-1】计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin＋costan 4π.     【变式训练3-1】cos 405°的值是(　　)A.  B．－  C.  D．－【变式训练3-2】sin ＋tan＝        .  知识点4    已知一个三角函数值求另两个三角函数值已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．【例4-1】（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【例4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知，，则 _____.【变式训练4-1】（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（       ）A． B． C． D．【变式训练4-2】（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．【变式训练4-3】（2022·北京·高一阶段练习）已知.求的值；   知识点5    化简求值与恒等式的证明（重难点）利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．【例5-1】（2022·全国·高一课时练习）如果，那么___________.【例5-2】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简(1)(2)(3)       【例5-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)；(2).       【变式训练5-1】（2022·四川甘孜·高一期末）已知 ​， 则=__________【变式训练5-2】（2021·全国·高一专题练习）（1）已知，求tanα的值（2）化简：（α为第四象限角）            【变式训练5-3】（2021·江苏·高一课时练习）求证：（1）；（2）；（3）.         知识点6    sin θ±cos θ型求值问题（重难点）sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．【例6-1】（2022·江西·南昌十中高一期中）已知，是关于x的一元二次方程的两根．(1)求的值；(2)若，求的值．      【变式训练6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则____.【变式训练6-2】（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.     名师导练A组-[应知应会]1．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（    ）A． B． C． D． 2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．33．（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（    ）A． B． C． D． 4．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）若为第三象限角，则（    ）A． B．C． D．5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（    ）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（    ）A． B． C． D． 7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（    ）A． B． C． D． 8．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知，且，则（    ）A． B． C． D．9．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在射线上，则角的正弦值为______，余弦值为______．10．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则实数______．11．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．12．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足方程组，则的一个值可以是___________.（写出满足条件的一个值即可）13．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．       14．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）（1）若，求．（2）若，求．            15．（2022·全国·高一课时练习）化简：．          16．（2021·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）（1）已知，求的值（2）已知，当时，求的值.           B组-[素养提升]1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（    ）A． B．2 C． D．62．（2022·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.3．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)＝；(2)