人教A版 (2019)9.1 随机抽样精品同步测试题

这是一份人教A版 (2019)9.1 随机抽样精品同步测试题，共14页。试卷主要包含了3B等内容，欢迎下载使用。


人教A版（2019）必修第二册《9.1.2 分层随机抽样》提升训练

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）“若x，y∈R，x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题是(    )
A. 若x，y∈R，x，y全不为0，则x2+y2≠0
B. 若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2=0
C. 若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2≠0
D. 若x，y∈R，x，y全为0，则x2+y2≠0
2.（5分）若定义域为R的函数f(x)不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是(    )
A. ∀x∈R，f(-x)≠-f(x) B. ∀x∈R，f(-x)=f(x)
C. ∃x0∈R，f(-x0)=f(x0) D. ∃x0∈R，f(-x0)≠-f(x0)
3.（5分）如图是某数学学习小组一次月考成绩的茎叶图，则成绩落在内[85,95)的频率为()

A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
4.（5分）把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()
A. 对立事件 B. 必然事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件
5.（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(    ) 

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6.（5分）执行如图所示程序框图，输出的x值为(    )  

A. 11 B. 13 C. 15 D. 4
7.（5分）某中学共有400名职工，其中不到35岁的有120人，35-49岁的有m，50岁及以上的有n，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35-49岁的职工抽取了50人，则50岁及以上的职工抽取的人数为()
A. 80 B. 120 C. 30 D. 20
8.（5分）设a→b→是非零向量，“|a→+b→|=|a→|-|b→|”成立的一个必要不充分条件是(    )
A. a→+b→=0 B. a→与b→方向相同 C. a→//b→ D. a→=b→
9.（5分）某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是(    )
A. 15 B. 24125 C. 96125 D. 48125
10.（5分）从2021年底开始，某有色金属的价格一路水涨船高，下表是2022年我国某企业的前5个月该有色金属价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
价格y(万元/kg)
0.5
0.8
1
1.2
1.5
由上表可知其线性回归方程为y^=0.28x+a^，则a^=()
A. 0.16 B. 0.18 C. 0.30 D. 0.32
11.（5分）如图，在矩形区域ABCD中，AB=2，AD=1，且在A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( ) 
 


 

A. 2-π2 B. π2-1 C. 1-π4 D. π4
12.（5分）已知命题p：若α//β，a//α，则a//β；命题q:若a//α，a//β，α⋂β=b，则a//b ，下列是真命题的是( )

A. p∧q B. p∨(¬q) C. p∧(¬q) D. (¬p)∧q
13.（5分）已知点A(-2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA→.PB→=x2，则点P的轨迹是(    )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为__________.
15.（5分）二进制数101101110(2)化为十进制数是______，再化为八进制数是______ (8)．
16.（5分）①若函数f(x)定义域为R，则g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数；  
②已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1f(x2)，则f(x)在定义域内单调递减；  
③若f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)也是奇函数，则f(x)是以4为周期的周期函数．  
以上三个命题中，正确命题是 ______ .(把所有正确结论的序号都填上)．
17.（5分）已知P是ΔABC所在平面内一点，PB→+PC→+2PA→=0，现将一粒黄豆随机撒在ΔABC内，则黄豆落在ΔPBC内的概率是______．
18.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为3.若C上一点P满足|PF1|-|PF2|=23，则C的方程为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． 
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？ 
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2． 
表1
生产能 
力分组
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
4
8
x
5
3
表2
生产能 
力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
6
y
36
18
①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论) 
 
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
20.（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程̂y=̂bx+̂a； 
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 
(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)计算回归系数̂a，̂b.公式为̂b=i=1nxiyi-nøverlinexøverlineyi=1nxi2-nøverlinex2̂a=øverliney-̂bøverlinex．
21.（12分）已知命题p：方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：∀x∈R，4x2-4mx+4m-3⩾0.若(￢p)∧q为真，求m的取值范围．
22.（12分）已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1． 
(1)设集合P={ 1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率； 
(2)设点(a,b)是区域x+y-8⩽0x>0y>0内的随机点，求y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率．
23.（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
C
(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； 
(Ⅱ)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

答案和解析
1.【答案】C;
【解析】 
这道题主要考查的是原命题和逆否命题，属于基础知识． 
根据原命题和逆否命题的关系即可得出结论． 
 
解：依题意得，原命题的题设为：x2+y2=0，结论为：x，y全为0． 
则逆否命题为：若x，y∈R，若x，y不全为0，则x2+y2≠0， 
故选C．

2.【答案】D;
【解析】解：∵定义域为R的函数f(x)是奇函数，  
∴∀x∈R，f(-x)=-f(x)，  
∵定义域为R的函数f(x)不是奇函数，  
∴∃x0∈R，f(-x0)≠-f(x0)  
故选：D． 
利用奇函数的定义，结合命题的否定，即可得到结论． 
此题主要考查函数的奇偶性，考查命题的否定，属于基础题．

3.【答案】A;
【解析】解：根据茎叶图10个数据中：成绩落在内[85,95)有：85，92，94共有3个，所以概率为310=0.3， 
故选：A. 
根据茎叶图即可统计数据进行求解． 
此题主要考查茎叶图和古典概型，属于基础题．

4.【答案】C;
【解析】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人， 
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件， 
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件， 
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件． 
故选：C. 
由题意可知事件甲分得红牌”与乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件． 
此题主要考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．

5.【答案】C;
【解析】 
这道题主要考查了平均数、极差及方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题． 
根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，再求出两者的极差，从而可得到结论． 
 
解：x→甲=15×(4+5+6+7+8)=6， 
x→乙=15×(5+5+5+6+9)=6， 
甲的成绩的中位数是6，乙的成绩的中位数是5， 
甲的成绩的方差为15×(22×2+12×2)=2， 
乙的成绩的方差为15×(12×3+32×1)=2.4． 
则甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差， 
甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，两者极差相等． 
故选：C．

6.【答案】B;
【解析】解：由程序框图可知：x0=2，x1=3，x2=5，x3=6，x4=7，x5=9，x6=10，x7=11，x8=13，  
而后输出x值为13，  
故选：B． 
理解程序框图的相关作用，计算可得结论．  
本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题．

7.【答案】D;
【解析】解：计算抽样比例为100400=14， 
所以不到35岁的应抽取120×14=30(人)， 
所以50岁及以上的应抽取100-30-50=20(人). 
故选：D. 
计算抽样比例，求出不到35岁的应抽取人数，再求50岁及以上的应抽取人数． 
此题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．

8.【答案】C;
【解析】解：∵|a→+b→|=|a→|-|b→|， 
∴|a→+b→|2=(|a→|-|b→|)2， 
∴a→⋅b→+|a→|⋅|b→|=0， 
∴a→，b→方向相反， 
故a→//b→是“|a→+b→|=|a→|-|b→|”成立的一个必要不充分条件， 
故选：C． 
求出“|a→+b→|=|a→|-|b→|”成立的等价条件，从而求出其必要不充分条件． 
此题主要考查了充分必要条件，考查向量的运算，是一道基础题．

9.【答案】D;
【解析】解：五位同学到五所大学就读的所有就读方式有55=3125 
仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)就读方式有5×C52A43=1200 
仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是 
P=12003125=48125 
故选D 
利用分类计数原理求出所有的就读方式，再利用捆绑法求出仅有两名学生录取到同一所大学的就读方法，利用古典概型概率公式求出概率． 
该题考查利用分类计数原理及排列组合公式求完成事件的方法数；利用古典概型概率公式求事件的概率．

10.【答案】A;
【解析】解：由表中数据可得x-=3，y-=1，b^=0.28， 
代入线性回归方程，得a^=y--b^x-=0.16， 
故选：A. 
求出样本中心点，代入回归直线方程即可． 
此题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．

11.【答案】C;
【解析】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90° 
∴扇形ADE的面积为S1=14×π×12=π4， 
同理可得扇形CBF的面积S2=π4， 
又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2， 
∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是： 
P=S-(S1+S2)S=2-(π4+π4)2=1-π4. 
故选：C. 
根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和，结合矩形ABCD的面积，再由测度比是面积比得答案． 
此题主要考查几何概型概率的求法，明确测度比是面积比是关键，是基础题．

12.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查复合命题真假关系应用，根据条件判断两个命题的真假是解决本题的关键． 
 
解：若α//β，a//α，则a//β或a⊂β，则命题p是假命题， 
若a//α，a//β，α∩β=b，则a//b成立，即命题q是真命题， 
则(¬p)∧q是真命题，其余为假命题， 
故选D.

13.【答案】D;
【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA→.PB→=x2， 
∴(-2-x,-y)⋅(3-x,-y)=x2， 
∴(-2-x)(3-x)+y2=x2，解得y2=x+6． 
∴点P的轨迹方程是抛物线． 
故选：D． 
由题意知(-2-x,y)⋅(3-x,y)=x2，化简可得点P的轨迹． 
该题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．

14.【答案】110;
【解析】 
此题主要考查简单随机抽样． 
利用简单随机抽样，每个个体被抽到的概率都相等，再结合样本容量和总体容量，分析求解即可． 
解：一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150， 
所以用简单随机抽样方式从该总体中抽取一个样本容量为5的样本， 
则指定的某个个体抽到的概率是150×5=110. 
故答案为：110. 


15.【答案】54;66;
【解析】解：110110(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+1×21+0×20=54(10)．  
又∵54÷8=6…6  
6÷8=0…6  
∴54(10)=66(8)  
故答案为：45(10)，66(8) 
要将101101110(2) 化为十进制我们可以利用累加权重法，分别求出各数位上的1对应的权重，累加后即可得到答案；而要将所得的十进制再转化为8进制数，则可以使用除8求余法． 
该题考查的知识点是进制之间的转化，熟练掌握十进制与其它进制之间的转化方法(累加权重法，除k求余法)是解答本题的关键，属于基础题．

16.【答案】①③;
【解析】解：①若函数f(x)定义域为R，由g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x)，可得g(x)是奇函数，故①正确；  
②已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1f(x2)，则f(x)在定义域内单调递减，错误，如y=x2，-3<2，(-3)2>22，但函数y=x2在定义域内不单调；  
③若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，又f(x+2)也是奇函数，∴f(-x+2)=-f(x+2)=f(-x-2)，以-x-2替换x，得f(x+4)=f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，故③正确．  
故答案为：①③． 
直接利用函数奇偶性的概念判断①；举例说明②错误；由奇函数的性质结合周期函数的定义判断③． 
此题主要考查命题的真假判断与应用，考查了与抽象函数有关的函数的性质的应用，是中档题．

17.【答案】12;
【解析】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→+PC→=PD→， 
∵PB→+PC→+2PA→=0， 
∴PB→+PC→=-2PA→， 
得：PD→=-2PA→， 
由此可得，P是ΔABC边BC上的中线AO的中点， 
点P到BC的距离等于A到BC的距离的12． 
∴SΔPBC=12SΔABC． 
将一粒黄豆随机撒在ΔABC内，黄豆落在ΔPBC内的概率为P=SΔPBCSΔABC=12 
故答案为：12 
根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ΔABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将ΔPBC的面积与ΔABC的面积相除可得本题的答案． 
本题给出点P满足的条件，求P点落在ΔPBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．

18.【答案】x23-y26=1;
【解析】解：由双曲线的定义可知a=3，由e=ca=3，得c=3， 
则b2=c2-a2=6，所以双曲线C的方程为x23-y26=1． 
故答案为：x23-y26=1． 
根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得． 
此题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)由已知可得：抽样比k=1001000=110， 
故A类工人中应抽取：250×110=25人， 
B类工人中应抽取：750×110=75人， 
 (2)①由题意知4+8+x+5+3=25，得x=5， 
6+y+36+18=75，得y=15． 
满足条件的频率分布直方图如下所示： 
 
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小． 
②xA→=425×105+825×115+525×125+525×135+325×145=123， 
xB→=675×115+1575×125+3675×135+1875×145=133.8 
x→=25100×123+75100×133.8=133.1 
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1;
【解析】该题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力． 
(1)先计算抽样比为110，进而可得各层抽取人数． 
(2)①A类、B类工人人数之比为250：750=1：3，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x和y即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 ②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数 


20.【答案】解：（1）øverlinex=3+4+5+64=4.5，øverliney=2.5+3+4+4.54=3.5， 
i=14xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5， 
i=14xi2=32+42+52+62=86， 
∴̂b=i=14xiyi-4øverlinexøverlineyi=14xi2-4øverlinex2=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=0.7， 
̂a=øverliney-̂bøverlinex=3.5-0.7×4.5=0.35． 
∴所求的回归方程为̂y=0.7x+0.35． 
（2）现在生产100吨甲产品用煤 
̂y=0.7×100+0.35=70.35，∴90-70.35=19.65． 
∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．;
【解析】 
(1)根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．  
(2)根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量． 
该题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注意数字的运算．

21.【答案】解：命题p：方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆；则2 命题q：∀x∈R，4x2-4mx+4m-3⩾0.则Δ=16m2-16(4m-3)⩽0，解得1⩽m⩽3． 
若(￢p)∧q为真，则m⩽21⩽m⩽3，解得1⩽m⩽2． 
∴m的取值范围是[1,2]．;
【解析】 
命题p：方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆；则2 该题考查了不等式的解法、复合命题的真假、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22.【答案】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 
∵试验发生包含的事件是3×5=15， 
函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2ba， 
要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数， 
当且仅当a＞0且2ba≤1，即2b≤a 
若a=1则b=-1，若a=2则b=-1，1；若a=3则b=-1，1； 
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 
∴所求事件的概率为515=13． 
 
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时， 
函数f（x）=ax2-4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数， 
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|a+b-8≤0a＞0b＞0} 
构成所求事件的区域为三角形部分 
由a+b-8=0b=a2得交点坐标为(163，83)， 
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13．;

【解析】 
(1)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．  
(2)本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果． 
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．

23.【答案】解：（I）由频率和为1，得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35； 
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以b=420=0.2； 
等级系数为5的恰有2件，所以c=220=0.1； 
从而a=1-0.2-0.45-0.2-0.1=0.05； 
所以a=0.05，b=0.2，c=0.1； 
（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为： 
{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2} 
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为： 
{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个， 
又基本事件的总数为：10 
故所求的概率P（A）=410=0.4．;
【解析】 
(I)由频率和为1，利用频率=频数样本容量求得a、b、c的值； 
(II)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 
此题主要考查了概率、统计的应用问题，是基础题．