还剩11页未读，
继续阅读
所属成套资源：【同步练习】湘教版数学九年级上册--练习题 （含答案）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程优秀巩固练习
展开
这是一份初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程优秀巩固练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
《2.4 一元二次方程根与系数的关系》同步练习
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）设一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，则x+y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．（4分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为（ ）
A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
6．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，则代数式α2+β﹣3α的值是（ ）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
9．（4分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为 ．
12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝ ．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝ ．
14．（4分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n2+mn+m+2018＝ ．
15．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝ ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根为1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝﹣1，则m的值为多少？
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．
20．（8分）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）设一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2＝即可得到答案．
【解答】解：x2﹣2x+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3，
x1x2＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，则x+y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】由x，y满足的条件及x≠y，可得出x，y为一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出x+y的值．
【解答】解：∵x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，
∴x，y为一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的两个不等实根，
∴x+y＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
3．（4分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
【分析】分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况考虑，当m＝n时，+＝2；当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，根据根与系数的关系可得出m+n＝7，mn＝2，将其代入+＝中即可求出结论．综上，此题得解．
【解答】解：∵实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，
∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根．
当m＝n时，+＝1+1＝2；
当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，
m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝．
综上所述，+的值为2或．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况求出+的值是解题的关键．
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，将其代入2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
∴x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，
∴2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2＝5+22﹣2×（﹣5）＝19．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5是解题的关键．
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为（ ）
A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，
∴2+3＝﹣b，2×3＝c，
∴b＝﹣5，c＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
6．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【分析】由根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5
∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4+10
＝14
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝4、ab＝3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx+a+b的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b＝4，ab＝3，
∴一次函数的解析式为y＝3x+4．
∵3＞0，4＞0，
∴一次函数y＝abx+a+b的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，则代数式α2+β﹣3α的值是（ ）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
【分析】先根据方程根的定义得到α2＝4α+2018，则α2+β﹣3α＝α+β+2018，再根据根与系数的关系得到α+β＝4，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵α是方程x2﹣4x﹣2018＝0的根，
∴α2﹣4α﹣2018＝0，即α2＝4α+2018，
∴α2+β﹣3α＝4α+2018+β﹣3α＝α+β+2018，
∵α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝4，
∴α2+β﹣3α＝4+2018＝2022．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
9．（4分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1，将其代入＝中即可求出结论．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝1、x1x2＝﹣2，将其代入x1+x2+x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，将其代入x12﹣4x1+3x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，
∴x12﹣4x1+3x1x2＝﹣1+3×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系找出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1是解题的关键．
12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝ ﹣6 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，将其代入x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）中即可求出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，
∴x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣5＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣，两根之积等于是解题的关键．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝ ﹣11 ．
【分析】利用根与系数的关系，先把x1，x2之间的关系写出来，代入方程求出k．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝k，
∵x1+x2﹣x1x2＝7，
∴﹣4﹣k＝7，
∴k＝﹣11．
故答案为：﹣11
【点评】将根与系数的关系代入方程解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．（4分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n2+mn+m+2018＝ 2019 ．
【分析】由m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n可得出m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，由根与系数的关系可得出m+n＝1，mn＝﹣3，再将其代入n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018中即可求出结论．
【解答】解：∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018＝3+1﹣3+2018＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系找出m+n＝1，mn＝﹣3是解题的关键．
15．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝ ．
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，将其代入+＝中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，
∴+＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018是解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根为1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．
【分析】（1）代入x＝1可求出m2﹣3m＝4，将其代入2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10中即可求出结论；
（2）设方程的另一根为x1，由两根之和等于﹣，可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0，得：1﹣5+m2﹣3m＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10＝2×4﹣10＝﹣2．
（2）设方程的另一根为x1，
由根与系数的关系，得：x1+1＝5，
解得：x1＝4．
∴方程的另一根为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝1求出m2﹣3m＝4；（2）牢记“两根之和等于﹣”．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴邻边相等，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（m﹣2）2＝0，
∴m＝2，
此时有方程：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，
∴菱形边长为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝﹣1，则m的值为多少？
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；
（2）由根与系数的关系得：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
m2﹣2m﹣3＝0
（m﹣3）（m+1）＝0
m1＝﹣1，m1＝3，
由（1）知m≥﹣，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为3．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．
【分析】（1）首先得到△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）＝100＞0证得方程有两个不相等的实数根；
（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）
＝16m2﹣16m2+100
＝100＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）∵[x﹣（2m+5）][x﹣（2m﹣5）]＝0，
∴x﹣（2m+5）＝0或x﹣（2m﹣5）＝0，
∴x1＝2m﹣5，x2＝2m+5，
∵2x1＝x2﹣7，
∴2（2m﹣5）＝2m+5﹣7，
解得：m＝4．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及公式法求一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
20．（8分）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，根据|x1﹣x2|＝6，那么20﹣8k＝36，求出k＝﹣2，计算出x1•x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，进而求出的值．
【解答】解：（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）因为k＜且k为正整数，
所以k＝l或2，
当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值为2；
（3）∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1•x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴＝36+3×（﹣8）﹣5＝7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
《2.4 一元二次方程根与系数的关系》同步练习
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）设一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，则x+y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．（4分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为（ ）
A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
6．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，则代数式α2+β﹣3α的值是（ ）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
9．（4分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为 ．
12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝ ．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝ ．
14．（4分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n2+mn+m+2018＝ ．
15．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝ ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根为1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝﹣1，则m的值为多少？
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．
20．（8分）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）设一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2＝即可得到答案．
【解答】解：x2﹣2x+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3，
x1x2＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，则x+y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】由x，y满足的条件及x≠y，可得出x，y为一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出x+y的值．
【解答】解：∵x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，
∴x，y为一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的两个不等实根，
∴x+y＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
3．（4分）已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
【分析】分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况考虑，当m＝n时，+＝2；当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，根据根与系数的关系可得出m+n＝7，mn＝2，将其代入+＝中即可求出结论．综上，此题得解．
【解答】解：∵实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，
∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根．
当m＝n时，+＝1+1＝2；
当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，
m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝．
综上所述，+的值为2或．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分m＝n及m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根两种情况求出+的值是解题的关键．
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，将其代入2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
∴x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，
∴2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2＝5+22﹣2×（﹣5）＝19．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5是解题的关键．
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为（ ）
A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为2和3，
∴2+3＝﹣b，2×3＝c，
∴b＝﹣5，c＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
6．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【分析】由根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5
∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4+10
＝14
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝4、ab＝3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx+a+b的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b＝4，ab＝3，
∴一次函数的解析式为y＝3x+4．
∵3＞0，4＞0，
∴一次函数y＝abx+a+b的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，则代数式α2+β﹣3α的值是（ ）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
【分析】先根据方程根的定义得到α2＝4α+2018，则α2+β﹣3α＝α+β+2018，再根据根与系数的关系得到α+β＝4，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵α是方程x2﹣4x﹣2018＝0的根，
∴α2﹣4α﹣2018＝0，即α2＝4α+2018，
∴α2+β﹣3α＝4α+2018+β﹣3α＝α+β+2018，
∵α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝4，
∴α2+β﹣3α＝4+2018＝2022．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
9．（4分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1，将其代入＝中即可求出结论．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝1、x1x2＝﹣2，将其代入x1+x2+x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，将其代入x12﹣4x1+3x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，
∴x12﹣4x1+3x1x2＝﹣1+3×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系找出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1是解题的关键．
12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝ ﹣6 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，将其代入x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）中即可求出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，
∴x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣5＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣，两根之积等于是解题的关键．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝ ﹣11 ．
【分析】利用根与系数的关系，先把x1，x2之间的关系写出来，代入方程求出k．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝k，
∵x1+x2﹣x1x2＝7，
∴﹣4﹣k＝7，
∴k＝﹣11．
故答案为：﹣11
【点评】将根与系数的关系代入方程解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．（4分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n2+mn+m+2018＝ 2019 ．
【分析】由m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n可得出m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，由根与系数的关系可得出m+n＝1，mn＝﹣3，再将其代入n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018中即可求出结论．
【解答】解：∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018＝3+1﹣3+2018＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系找出m+n＝1，mn＝﹣3是解题的关键．
15．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝ ．
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，将其代入+＝中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，
∴+＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018是解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根为1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．
【分析】（1）代入x＝1可求出m2﹣3m＝4，将其代入2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10中即可求出结论；
（2）设方程的另一根为x1，由两根之和等于﹣，可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0，得：1﹣5+m2﹣3m＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10＝2×4﹣10＝﹣2．
（2）设方程的另一根为x1，
由根与系数的关系，得：x1+1＝5，
解得：x1＝4．
∴方程的另一根为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝1求出m2﹣3m＝4；（2）牢记“两根之和等于﹣”．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴邻边相等，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（m﹣2）2＝0，
∴m＝2，
此时有方程：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，
∴菱形边长为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝﹣1，则m的值为多少？
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；
（2）由根与系数的关系得：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
m2﹣2m﹣3＝0
（m﹣3）（m+1）＝0
m1＝﹣1，m1＝3，
由（1）知m≥﹣，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为3．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．
【分析】（1）首先得到△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）＝100＞0证得方程有两个不相等的实数根；
（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）
＝16m2﹣16m2+100
＝100＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）∵[x﹣（2m+5）][x﹣（2m﹣5）]＝0，
∴x﹣（2m+5）＝0或x﹣（2m﹣5）＝0，
∴x1＝2m﹣5，x2＝2m+5，
∵2x1＝x2﹣7，
∴2（2m﹣5）＝2m+5﹣7，
解得：m＝4．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及公式法求一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
20．（8分）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，根据|x1﹣x2|＝6，那么20﹣8k＝36，求出k＝﹣2，计算出x1•x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，进而求出的值．
【解答】解：（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）因为k＜且k为正整数，
所以k＝l或2，
当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值为2；
（3）∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1•x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴＝36+3×（﹣8）﹣5＝7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
相关试卷
湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优秀随堂练习题： 这是一份湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优秀随堂练习题，共23页。
初中数学湘教版九年级上册5.1 总体平均数与方差的估计精品同步测试题： 这是一份初中数学湘教版九年级上册5.1 总体平均数与方差的估计精品同步测试题，共10页。
初中湘教版第3章 图形的相似3.6 位似精品当堂达标检测题： 这是一份初中湘教版第3章 图形的相似3.6 位似精品当堂达标检测题，共44页。试卷主要包含了6《位似》 专项训练题，5）C．，5 平方单位．，5，HA1＝7等内容，欢迎下载使用。
