【同步教案】北师大版数学八年级上册--5.3 应用二元一次方程组—鸡兔同笼 教案

应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼

【教学目标】

一、教学知识点

1．会用二元一次方程组解决实际问题。

2．在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界。

二、能力训练要求

1．在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力。

2．将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能。

三、情感与价值观要求

1．体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。

2．在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。

【教学重点】

1．让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程。

2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。

【教学难点】

用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。

【教学方法】

自主发现法。

学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识。

【课时安排】

4课时

【教学准备】

投影片一张：鸡兔同笼。

【教学过程】

一、提出问题，激发兴趣

［师］我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？

二、讲授新课

出示投影片

［师］就上面的问题，我们先分组讨论。

（学生在讨论时，教师可参与到学生的讨论，听学生的想法，以便能及时了解学生的思路）

［师生共析］

1．（1）“上有三十五头”是指“鸡和兔共有35只。即“鸡的只数+兔的只数=35只”。“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条。即“鸡的腿+兔子的腿=94”。

（2）根据（1）中的数量关系，我们可以假设鸡有x只，兔有y只，可得x+y=35  ①，2x+4y=94  ②，把①和②联立方程组，得

（3）解法一：由①得y=35－x       ③

把③代入②中，得2x+4（35－x）=94

解得x=23

把x=23代入①，得y=12．

所以原方程组的解为

解法二：②－①×2，得

2y=24

y=12

把y=12代入①，得x=23

所以原方程组的解为

答：鸡有23只，兔子有12只。

和用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解。

2．（1）这个问题类似于“鸡兔同笼”的问题。因为它也是将“2元，5元，10元”的人民币混合在了一起，只知道总共有多少张，合起来共多少元，求2元，5元，10元的人民币各有多少张？

（2）在这个题目中，设两个未知数也可以；设三个未知数也可以。我们先来看设两个未知数的情况。由于2元和5元的张数相同，我们可以各设有x张，10元的张数有y张。

（3）根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即：2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张，2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元，于是我们根据（1）中的未知数列出二元一次方程组：

（4）用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们扮演完成.

解法一：由①得y=50－2x          ③

把③代入②，得x=15

把x=15代入③，得y=20

所以原方程组的解为

解法二：①×10－②，得

x=15

把x=15代入①，得y=20

所以原方程组的解为

答：2元和5元的人民币各有15张，10元的人民币有20张.

［议一议］如果2.（2）中设有三个未知数，即如果设2元的人民币有x张，5元的人民币y张，10元的人民币z张，如何列出方程组，求解上述问题呢？

［生］我们在设未知数时，没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件，因此列出的方程就多出一个，再加上我们刚才的两个相等关系，列出的是一个三元一次方程组即由x=y  ①，x+y+z=50  ②，2x+5y+10z=305  ③，组成的三元一次方程组。

［师］我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法，但我们借鉴二元一次方程组的基本思路——消元，可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组

我们可以将①代入②和③，得二元一次方程组

解这个二元一次方程组，得

把y=15代入①得x=15

所以方程组的解为

［生］老师，看来解方程组未知数出了并不可怕，关键是掌握解方程组的基本思路——消元。

［师］的确如此。我们学会了解方程组可以解决许多问题。下面我们再来看一下例子。估计大家小学的时候见过。

［例1］以绳测井。若将绳子三折测之，绳子多五尺；若将绳子四折测之，绳子多一尺。绳长、井深各几何？

谁来给大家解释一下题意。

［生］老师，我试一下。这个题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度要比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺。绳长、井深各是多少尺？

［师］这位同学解释得很棒。接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它。首先我们可以从题目中找到相等关系。你知道相等关系蕴含在哪两句话里？你能用含有文字的等式表示出来吗？

［生］可以。我认为相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”。这两句话中，用等式表示出来为：

绳长÷3－井深=5                ①

绳长÷4－井深=1                ②

［生］老师，我认为相等关系也在这两句话中，但我用下面的等式表示：

绳长－3×井深=5×3             ③

绳长－4×井深=1×4             ④

［师］很好.我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：

根据③、④得方程组：

我们观察这两个方程组虽然形式上不同，但我们将第一个方程组中的方程化简，整理便可得出第二个方程组。因此这两个方程组是“同工异曲”的效果。下面我们在练习本上解出方程组的解，你可以任意选其中之一。

（然后让两位学生黑板上板演，教师讲评）

解法一：设绳长x尺，井深y尺，则

①－②，得=4,

=4

x=48

将x=48代入①，得y=11

答：绳长48尺，井深11尺.

解法二：设绳子长x尺，井深y尺，则

由③－④，得y=11

把y=11代入④，得x=48

答：绳长48尺，井深11尺。

［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程（组），建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要。

三、随堂练习

1．解：设每头牛价值“金”x两，每只羊价值“金”y两，则

由①×2－②×5，得y=

把y=代入②，得x=

所以，每头牛价值“金”两，每头羊值“金”两。

2．解：设甲带钱x，乙带钱y，

则

由①×2－②，得x=37

把x=37代入①，得y=25

所以甲带钱37，乙带钱25。

四、课时小结

本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能。

【作业布置】

1．课后习题

2．收集资料：数学史料，以一组为单位办1份数学史料手抄报。

活动与探究：

如图，在一个正方体的顶点处填上1~9的数码中的8个，每一个顶点只填一个数码。使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为18，那么未被填上的数码是什么？

过程：如果用1~9中的每一个数去试，过程繁琐。根据题意，我们可以利用方程这个数学模型，使问题简单化。

结果：设未被填上的数为x，根据题意，可得：

（1+2+…+9－x）÷2=18

得45－x=36

x=9

所以未被填上的数是9。

【板书设计】