数学选择性必修 第三册6.3 二项式定理教学设计

一、学习目标

1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；

2.会应用二项式定理求解二项展开式；

3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；

4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.

二、重点与难点

重点： 应用二项式定理求解二项展开式

难点：利用计数原理分析二项式的展开式

三、学习过程

引例1、复习回顾

（1）复述组合的概念：                                                   

（2）组合数公式：                                                       

引例2、新知铺垫：序号为1、2、3、4、5的暗合中分别放置了1个白色和一个黑色小球，现在要每个暗盒中取出一个小球，则取出结果为1个白球4个黑球的结果总共有几种？

（一）问题探究

问题1：我们知道： =a2+2ab+b2,

（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？

（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？

（3）进一步地，你能写出的展开式吗（二项式定理）？

（二）知识要点

1．二项式定理

(a＋b)n＝_Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有  n＋1  项．

(3)二项式系数：各项的系数   C   (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)n展开式的第___k＋1 ___项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝___Can－kbk___.

（三）知识运用

例1.求的展开式.

跟踪训练1

(1)求34的展开式;

(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).

1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

例2.（1）求的展开式的第4项的系数；

（2）求的展开式中的系数.

跟踪训练2.

(1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;

(2)求x-9的展开式中x3的系数.

二项式系数与项的系数的求解策略

(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.

四、课堂小结：

课后作业

1.(a+b)2n的展开式的项数是(　　)

A.2n B.2n+1        C.2n-1 D.2(n+1)

2.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　)

A.23 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3

3.二项式的展开式中有理项共有　　　项. 

4.如果()n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n=　　　　. 

5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式

中x7的系数.

6.已知在的展开式中,第6项为常数项.

(1)求n;

(2)求含x2的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.