高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理教学设计及反思

第六章计数原理

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(x+2)6的展开式中x3的系数是(　　)

A.20 B.40 C.80 D.160

解析(方法一)设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=x6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为×23=160.

(方法二)根据二项展开式的通项的特点,二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为×23=160.

答案D

2.(多选)(2020江苏泰州中学高二期中)对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有含x的项

D.存在n∈N*,展开式中有含x的项

解析设二项式(n∈N*)展开式的通项为Tk+1,则Tk+1=x4k-n,

不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;

令n=3,则当k=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.

故选AD.

答案AD

3.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A.840 B.-840 C.210 D.-210

解析在通项Tk+1=x10-k(-y)k中,令k=4,即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为·(-)4=840.

答案A

4.使得(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.

答案B

5.(2020重庆高三月考)若(a-3x)10的展开式中含的项的系数为-30,则实数a的值为 (　　)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

解析因为(a-3x)10=a-3x,且的通项为

Tk+1=,

令5-,解得k=3;令5-=-,此方程无整数解.所以·a=-30,解得a=2.

故选A.

答案A

6.若x>0,设5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为　　　　. 

解析T3=·32=x,T4=·2·3=,故M+N=≥2当且仅当,即x=时,等号成立.

答案

7.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为　　　　. 

解析根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.

答案9

8.已知的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数.

解∵,∴n=17,Tk+1=·2k·.

令=1,得k=9.

∴T10=·x4·29·x-3=·29·x.

故x的系数为29.

9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.

解T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4.

由题意知,,解得n=10(负值舍去).

Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,

令=0,解得k=2.

所以展开式中的常数项为×22=180.

10.求证:1+2+22+…+(n∈N*)能被31整除.

证明∵1+2+22+…+-1=32n-1

=(31+1)n-1

=·31n+·31n-1+…+·31+-1

=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.

能力提升练

1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　)

A.-297 B.-252 C.297 D.207

解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.

答案D

2.(2020云南昆明一中高三月考)(1+x)3(1-2x)的展开式中含x3的项的系数为(　　)

A.-5 B.-4 C.6 D.7

解析因为(1+x)3(1-2x)=(1+x)3-2x(1+x)3,所以含x3项的系数为-2=1-2×3=-5.故选A.

答案A

3.(x2+2)的展开式中的常数项是(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

解析展开式的通项为Tk+1=·(-1)k=(-1)k.

令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.

故(x2+2)·的展开式中的常数项是

(-1)4×+2×(-1)5×=3.

答案D

4.设二项式x-6(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是　　　　. 

解析A=(-a)2,B=(-a)4,由B=4A知, 4(-a)2=(-a)4,解得a=±2.

∵a>0,∴a=2.

答案2

5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 

解析展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

答案-121

6.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 

解析(xcos θ+1)5展开式中x2的系数为cos2θ.

x+4展开式中x3的系数为.由题意可知cos2θ=,∴cos2θ=,∴cos θ=±.

答案±

7.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明:展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有的有理项.

(1)证明由题意得2=1+,

即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).

∴Tk+1=)8-k·

=

=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).

若Tk+1是常数项,则=0,

即16-3k=0,∵k∈Z,这不可能,

∴展开式中没有常数项.

(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,

即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.

素养培优练

求x+-15的展开式中的常数项.

解(方法一)因为x+-15=x+-15,

所以二项展开式的通项为·x+·(-1(0≤k1≤5,k1∈Z).

当k1=5时,T6=·(-1)5=-1;

当0≤k1<5时,x+的展开式的通项为·(0≤k2≤5-k1).

因为0≤k1<5,且k1∈Z,k1+2k2=5,

所以k1只能取1或3,此时相应的k2值分别为2或1,即

所以常数项为·(-1)1+·(-1)3+(-1)=-51.

(方法二)因为x+-15=x+-1·x+-1·…·x+-1,

所以常数项为x··(-1)3+x2··(-1)+·(-1)5=-51.