2023届江西省南昌市第八中学高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届江西省南昌市第八中学高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出集合、，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以或，，所以，
故选：B
2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】通过计算得的代数形式，得的坐标形式，从而可得答案.
【详解】，
则的坐标形式为，故z在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选：D
3．已知对数函数的图象经过点，则幂函数的图象是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据条件先求解出的值，然后将的值代入幂函数中分析幂函数奇偶性和单调情况，由此判断出幂函数的图象.
【详解】因为经过，所以，所以，
所以幂函数为，
显然为奇函数，排除A、C；
又因为在时，增长趋势相比于要缓慢，所以排除B，
故选：D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．已知函数在处取得极大值，则（ ）.
A．3B．C．3或D．1
【答案】C
【分析】利用导函数和极值点的定义求解即可.
【详解】由题意得，
令得或，
当时恒成立，单调递增，不存在极大值；
当时在和上大于0，单调递增，在上小于0，单调递减，
所以在处取得极大值，由得；
当时在和上大于0，单调递增，在上小于0，单调递减，
所以在处取得极大值，所以，
综上或，
故选：C
6．已知，，点的坐标满足线性约束条件，则的最大值为（ ）.
A．6B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】令，根据题意作出可行域解决即可.
【详解】令，
由约束条件可作下图
联立，解得，
由，得，由图可知，
当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值为，
故选：D
7．命题为锐角三角形，命题中，. 则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当成立时，利用诱导公式可得，再利用单调性可得的大小关系；当成立时，无法推出成立；
【详解】当成立时，，，，即，
命题可推出命题；
当成立时，令，，显然，但三角形不为锐角三角形；
命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
8．已知奇函数的定义域为，且．若当时， ，则的值是（ ）
A． B． C．2D．3
【答案】B
【分析】先根据题意得函数的周期为4，再根据周期函数和对数运算求解即可.
【详解】解：因为函数是奇函数，所以函数图象关于点对称，
因为函数满足，所以函数图象关于直线对称，
所以函数的周期为4，
∴
因为
所以
故选：B
【点睛】本题考查抽象函数的周期性，对数运算，是中档题.
9．已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上单调递减，再根据指数函数，一次函数，分段函数的单调性求解即可.
【详解】解：因为对任意，都有成立，
所以，对任意，都有成立，
所以，函数在上单调递减，
所以，，解得
所以，实数的取值范围是
故选：C
10．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】先判断函数的奇偶性，再得到其单调性，然后确定，，的范围，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又定义域关于原点对称，
所以为偶函数，且易知函数在上单调递增，
又，，，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.
11．已知函数是定义域为的单调递减函数，若图象关于点对称，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过图象关于点对称，可构造奇函数，再将题干不等式转化为与函数有关的不等式，利用函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，
设，
所以是上的奇函数，且是上的减函数，
所以是上的减函数，
由得，，
所以，即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
12．对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果.
【详解】由恒成立可得恒成立，
令，则，
显然在上单调递增，又，
∴当时，，当时，，
∴当时，取得最小值.∴.
故选B．
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.
二、填空题
13．已知函数f(x)=x2lnx+x，则f(x)在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可.
【详解】，∴，又f（1）=1，
∴f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，
故答案为：
14．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则______.
【答案】
【分析】先根据指数函数的特征求出，故，再分子分母同除以，化弦为切，代入求值即可.
【详解】，且时，当时，为定值，
故，又点A在角的终边上，
所以，
所以.
故答案为：.
15．某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中等占等占等占等占的比例，规定达到等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为___________.
【答案】24
【分析】根据频率分布直方图可得答案.
【详解】由图可知，分数在20分以下的比例为，在40分以下的比例为，因此分位数位于内，由，所以通过本次考试分数至少为24.
故答案为：24.
16．已知函数的定义域为，，若对，，则不等式的解集为_______
【答案】
【分析】构造函数，通过导数可知单调递减，再通过可确定的解集，从而得到结果.
【详解】令，则
在上单调递减
又
当时，，即
的解集为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用单调性求解不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为自变量范围的求解.
三、解答题
17．的内角所对的边分别为已知角成等差数列．
（1）若的外接圆半径为，求；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为中，角，，成等差数列，所以．
又因为，所以．
因为的外接圆半径为，由正弦定理，得．
（2）由，可得．
由（1）的解题过程及余弦定理得．
由可得，所以的面积（当且仅当时，等号成立）．
故的面积的最大值为．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．
18．已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可求．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由可得
，
两式相减可得，即，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以
（2）由（1），
，
则，
两式相减得
，
所以．
【点睛】方法点睛：
由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.
19．每年9月第三周是国家网络安全宣传周.某中学为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：
(1)某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；
(2)将成绩在内定义为“合格”；成绩在内定义为“不合格”.请将下边的2×2列联表补充完整，并判断是否有90％的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？
(3)在（2）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.
附：，其中.
【答案】(1)该同学的测试成绩不低（或不太低），理由见解析
(2)列联表见解析，没有90％的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关
(3)
【分析】（1）通过频数分布表求出测试成绩的中位数，或者通过计算测试成绩的平均数，进行求解即可；
（2）先通过频数分布表计算出的人数，然后根据表中的数据求出所要填的数据，完善列联表，再计算进行求解即可；
（3）根据分层抽样的比例求出抽取合格的人数和不合格的人数，用列举法求出5人中随机抽取2人的基本事件，再写出抽取的2人恰好都合格的基本事件，最后利用古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】（1）解：我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．
理由如下：中位数为，
显然，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；
考生的理由如下亦可：
平均成绩
显然，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．
（2）解：由题知，不合格学生有人，
所以，合格学生有人，
所以，填表如下：
，
故没有90％的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．
（3）解：从50人随机抽取5人的比例为，
从合格的40名学生中抽取（人），记为a、b、c、d；
从不合格的10名学生中抽取（人），记为x，
则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：
ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，
其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，
故恰好2人都合格的概率．
20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，底面，，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接､，证明四边形是平行四边形，得线线平行后可得线面平行；
（2）以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求点面距．
【详解】（1）证明：取线段的中点，连接､，
由为中点得，且，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面.
（2）
因为，所以.
因为平面平面，
所以.
所以､､两两垂直，
所以以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图，
设平面的法向量为，，，，，
则，从而有
令，得，所以.
又，则
所以点到平面的距离为.
21．已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间，单调递减区间；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求导后解不等式和，然后与定义域取交集即可求出结果;
（Ⅱ）函数在区间上有两个不同的极值点等价于在上有两个不同根，即在上有两个不同根，进而构造函数，研究函数在的图象与性质即可求出结果.
【详解】（Ⅰ），，
令解得，
所以，，故的单调递增；
令解得或，
所以，，故的单调递减；
综上，的单调递增区间，的单调递减区间；
（Ⅱ）由题意：，，
所以在上有两个不同根，故在上有两个不同根，即在上有两个不同根，设，，，所以，，单调递增：，，单调递减；所以在处取得极大值，也是最大值，，而时，，且，所以．
【点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
【解析】坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为，正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由零点分段法讨论求解即可；
（2）先求出，得到，再用柯西不等式求解即可
【详解】（1），
当时，由，得，∴；
当时，由，得，∴；
当时，由，得，∴．
综上，不等式的解集为．
（2）当时，的最小值是；
当时，由可知；
当时， 的最小值是；
所以得，
∴，
∴，
当且仅当，，，时，等号成立，
∴．
合格
不合格
合计
男生
26
女生
6
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
合格
不合格
合计
男生
26
4
30
女生
14
6
20
合计
40
10
50