江西省南昌市实验中学2021届高三第一次月考 数学（文）试卷（含答案解析）

2021届高三第一次月考

数学（文）试卷

一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分）

1. 已知集合，，则（    ）

 A.     B.   C.     D.

2. 已知命题：所有的三角函数都是周期函数，则为（     ）

 A. 所有的周期函数都不是三角函数 

 B. 所有的三角函数都不是周期函数

 C. 有些周期函数不是三角函数 

 D. 有些三角函数不是周期函数

3. 定义在上的函数满足，且当时，则的值为（    ）

A.     B.      C. 2      D. 3

4. 已知，为单位向量，则是的（     ）

A. 充分不必要条件        B. 充要条件

C. 必要不充分条件        D. 既不充分也不必要条件

5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ）

A.     B.     C.      D.

6. 若sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝(　　)

A.－              B.                  C.－               D.  

7. 已知，，，则（    ）

A.    B.     C.   D.

8. 若定义在上的偶函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是（  ）

A.           B.  

C.           D.

9. 如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当. . 三点共线时，记面积为0），则函数的图像大致为（   ）

          A                  B       C     D

10. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin 2B＋bsin A＝0，若a＋c＝2，则边b的最小值为(　　)

 A.      B. 3       C. 2       D.

11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，

则的值为（    ）

A. －1    B. 1      C. 0    D. 无法计算

12. 已知函数＝若，则的取值范围是(　 　)

A. (－∞，0]                 B. (－∞，1]         

C. [－2，1]                D. [－2，0]

二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）

13. 已知向量，，，若，则________.

14. 函数在区间上的最大值是___________.

15. 已知的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为，，，则的取值范围是_________.

16. 已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围为               　.

三、解答题（共6小题；共70分）

17.（10分）己知a，b，c分别为三个内角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值.

18.（12分）已知函数，其中，且曲线在点的切线垂直于直线.

（1）求的值

（2）求函数的单调区间和极值

19.（12分）已知的最小值为.

（1）求的值并指出取等号的条件;

（2）若非负数，满足，求的最小值并指出取最小值的条件.

20. （12分）在如图所示的多面体中，平面ABED垂直于以AB为直径的半圆面，C为上一点，AB∥DE，AD⊥AB，.

（1）若点F是线段BC的中点，求证：EF∥平面ACD；

（2）若点C为的中点，求点E到平面BCD的距离.

21.（12分）已知函数的部分图像如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不点），得到函数，求函数在区间上的值域.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性;

（2）令，证明：.

答案

13.         14.  8          15.          16. 

17.【解析】（1）由正弦定理得，，

∵，∴，即．

∵∴，∴，∴．

（2）由可得．∴，

∵，∴由余弦定理得：，∴．

18.解析：（1），由题意知，所以.

（2）由（1）知，函数定义域为,

所以函数的单调增区间为，单调减区间为，

，无极大值.

19．解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝

∴在单调递减，在单调递增，在为常数2

故函数f(x)有最小值2，所以m＝2.，取等号时

【另解】，当且仅当时取等号

(2)由(1)可知2a＋2b＝2，故a＋1＋b＋2＝4，

所以，

故的最小值为1当且仅当a＋1＝b＋2＝2，即a＝1，b＝0时等号成立.

20.解析：（1）证明：取AC的中点G，连接DG，FG，则FG∥AB，且FGAB，

又DE∥AB，且DEAB，∴DE∥FG且DE＝FG，

则四边形DEFG为平行四边形，∴DG∥EF．

又DG⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，

∴EF∥平面ACD；

（2）解：由题意，平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，

DA⊥AB，DA⊂平面ABED，∴DA⊥平面ABC，得DA⊥BC，

又AC⊥BC，DA∩AC＝A，∴BC⊥平面ADC．

∵点C为的中点，∴AC＝BC．

又AC⊥BC，且AB＝4，∴AC＝BC．

此时．

∴．

设点E到平面BCD的距离为d，则，解得d．

21. 解析：

22.解：(1)…………………………1分

当时，恒成立，此时在单调递增………………2分

当时，令得

当时，，此时单调递增

当时，，此时单调递减…………………………5分

综上：当时，在单调递增

当时，在单调递增，在单调递减…………6分

(2)由题可知：，

设，要证原式只要证，即证

设

显然是一个增函数

且，∴在存在唯一的零点……………7分

当，时

∴单调递减，在单调递增……………………8分

∴……………………9分

∵………………………10分

∴…11分

∴恒成立，∴

结论得证.…………………………12分