人教版八年级上期末数学试卷2-Copy

这是一份人教版八年级上期末数学试卷2-Copy，共31页。

A． B． C． D．
2．（3 分）下列因式分解正确的是（ ）
A．m2﹣5m+6＝m（m﹣5）+6 B．4m2﹣1＝（2m﹣1）2
C．m2+4m﹣4＝（m+2）2 D．4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1）
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣3＝﹣8 B．2﹣3＝﹣6 C．2﹣3＝ D．2﹣3＝
4．（3 分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． ＝a+1
B． ＝﹣
C． ＝
D． ＝
5．（3 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D 为 AC 边的中点．若 BC＝6，则
BD 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（3 分）以下关于直线 y＝2x﹣4 的说法正确的是（ ）
A．直线 y＝2x﹣4 与 x 轴的交点的坐标为（0，﹣4）
B．坐标为（3，3）的点不在直线 y＝2x﹣4 上
C．直线 y＝2x﹣4 不经过第四象限D．函数 y＝2x﹣4 的值随 x 的增大而减小
7．（3 分）如图，在△ABC 与△EMN 中，BC＝MN＝a，AC＝EM＝b，AB＝c，∠C＝∠M＝54°．若∠
A＝66°，下列结论正确的是（ ）
A．EN＝c B．EN＝a C．∠E＝60° D．∠N＝66°
8．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，3），B（5，1），点 M 在 x 轴上，当 MA+MB 取得最小值
时，点 M 的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（4，0） C．（1，0） D．（0，4）
9．（3 分）程老师制作了如图 1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问
题．操作学具时，点 Q 在轨道槽 AM 上运动，点 P 既能在以 A 为圆心、以 8 为半径的半圆轨道槽上运
动，也能在轨道槽 QN 上运动．图 2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6 时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9 时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ＝90°可得到形状唯一确定的△PAQ
，
PQ＝12 时，
可得到形状唯一确定的△PAQ
，
PQ＝10 时，
④当∠PAQ＝150°其中所有正确结论的序号是
（
②③
（3 分）
）
③④
②③④
乙分别从 A，
①②③④
相向而行．
B 两地出发，
图 2 中的
甲、
10．
A，
如图 1 所示，
C．
D．
B．
A．
B 两地相距 60km，
乙离 B 地的距离 y（km）以下结论正确
l 分别表示甲、
2
l ，
1
与甲出发后所用的时间 x（h）
的函数关系，
（ ）的是
甲的速度为 20km/h B．甲和乙同时出发
A．
甲出发 1.4h 时与乙相遇 D．乙出发 3.5h 时到达 A 地
C．
第 115 题每小题 2 分，第 8 题 4 分
17 题每小题 2 分，
第 16、
的值为 0，
a﹣5b﹣3•ab﹣2＝．
（要求结果用正整数指数幂表示）
（2 分）在如图所示的“北京 2008 年奥运会开幕小型张”这个多边
中，
邮票的形状是一个多边形．
形的内角和等于 °．
纳米绿色印刷技术突破了传统印刷技术精度和材料种类的局限，
可以在硅片上印刷出 10 纳米（即为 0.00000001 米）
将 0.00000001 用科学
量级的超高精度导电线路．
记数法表示应为 ．14．
填空题（本题共 20 分，
（2 分）若分式
则 x 的值为 ．
二、
11．
12．
13．
（2 分）
计算：
（2 分）
据印刷工业杂志社报道，
（1）
（2）
18．
（2 分）
（3 分）
直线 y＝﹣2x+6 与 x 轴的交点为 M，
计算：
15．
16．
（﹣ ）2＝ ．
将直线 y＝﹣2x+6 向左平移 5 个单位长度，后的对应点 M′
的坐标为 ，
点 M 平移
平移后的直线表示的一次函数的解析式为 ．
在△ABC 中，，
（3 分）
如图，
且 C，
D 两点位
17．
∠BAC＝30°
∠ACB＝45°
BD∥AC，
BD＝AB，
，
射线 AD 上的点 E 满足∠ABE＝60°于 AB 所在直线两侧，
．
∠AEB＝ °；
图中与 AC 相等的线段是 ，证明此结论只需证明△ ≌△ ．
S 同学把一张 6×6 的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去
通过
‘逆向还原’
”画图过程如图 2 所示．
1②基础上，
然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．多余部分只留下阴影部分，
“我不用剪纸，
我直接在你的图
T 同学说：
的方式依次画出相应的与原的方式，
请仿照图 2 中“逆向还原”
在图 4①中的正方形网格中画出
图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．
对于图 3 中的另一种剪纸方式，
并判断它与图 2 中最后得到的图案是否相同．还原后的图案，
（在相应的方框内打勾）答：
□不相同
□相同；
（4 分）如图 1 所示，
20．
21．
第 19～24 题每小题 6 分，26 题每小题 6 分）
三、
19．
解答题（本题共 50 分，
第 25 题、
（6 分）分解因式：
（1）a2b﹣4b3；
（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
其中 x＝4y，y 均不为 0．
且 x，
F 分别是 AB、AC 边上的点，且
BE＝CF．求证：
DE＝DF．
y＝ x+ 与 y 轴的交点为 A，（6 分）
如图，
直线 l 与直线 l ：
1 2
直线 l ：
1
22．
y＝kx 的交点 M 的坐标为
（6 分）
化简并求值：
（x+ ）
÷ ，
（6 分）如图，
已知：
在△ABC 中，
D 为 BC 的中点，
AB＝AC，
E、
线路划分
A 段
B 段（新开通）
所属全国铁路网
京九线
京雄城际铁路北京段
站间
北京西﹣李营
李营﹣大兴机场
里程近似值（单位：km）
15
33
运行的平均速度（单位：
km/h）
所用时间（单位：h）
M（3，a）．
（1）求 a 和 k 的值；
（2）直接写出关于 x 的不等式 x+ ＜kx 的解集；
（3）若点 B 在 x 轴上，MB＝MA，直接写出点 B 的坐标．
23．（6 分）解决问题：
小川同学乘坐新开通的 C2701 次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列
车行驶的全程分别属于两段不同的路网 A 段和新开通运营的 B 段，在两段运行的平均速度有所不同，
小川搜集了相关信息填入表格．
已知 C2701 次列车在 B 段运行的平均速度比在 A 段运行的平均速度快 35km/h，在 B 段运行所用时间是
在 A 段运行所用时间的 1.5 倍．C2701 次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时？
（提示：可借助表格解决问题）
24．（6 分）尺规作图及探究：
已知：线段 AB＝a．
（1）完成尺规作图：
点 P 在线段 AB 所在直线上方，PA＝PB，且点 P 到 AB 的距离等于 ，连接 PA，PB．在线段 AB 上找到一点 Q 使得 QB＝PB，并直接回答∠PQB 的度数；
连接 PQ，
替换为“PB 取得最大值” 其余所有条件都不，
此时点 P 的位置记为 P′，
，
B 的度数．
Q′
并直接回答∠P′
Q′
连接 P′
点 Q 的位置记为 Q′
，
（7 分）小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数 y＝|x+1|﹣x 图象与
并尝试解决相关问题．性质，
请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）补全表格：
（3）在平面直角坐标系 xOy 中画出函数 y＝|x+1|﹣x 的图象；当 x≤﹣1 时，
（4）填空：
相应的函数解析式为 （用不含绝对值符号的式子表示）；
（5）写出直线 y＝﹣x+1 与函数 y＝|x+1|﹣x 的图象的交点坐标．
在等腰直角三角形 ABC 中，连接 AD，
26．
AB＝AC，
∠BAC＝90°
，
（7 分）如图 1，
点 D 在 BC 边上，
AE⊥AD，DE．
连接 CE，
AE＝AD，
∠B＝∠ACE；（1）求证：
（2）EM．
点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，
连接 CM，
①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；M 三点恰好共线时点 D 的位置．
请直接写出此
E，
②利用备用图进行画图、 探究，
时∠BAD 的度数，
找出当 D，
试验、
并画出相应的图形．变，
25．
（1）
中的条件“点 P 到 AB 的距离等于 ”
（2）若将
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
…
y
…
5
4
3
1
1
1
…
（﹣1）
（﹣2）
（﹣3）
（﹣4）
× ＝
× ＝
× ＝
× ＝
（1）依此规律进行下去，
，
，
，
，
第 5 个等式为 ，
填空题（本题 6 分四、
27．
（6 分）
观察以下等式：
（﹣1）+
（﹣2）+
（﹣3）+
（﹣4）+
猜想第 n 个等式为 （n 为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．已知：
如图①所示的三角形纸片内部有一点 P．
操作题（本题 7 分）五、
28．
（7 分）
借助折纸在纸片上画出过点 P 与 BC 边平行的线段 FG．任务：
阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
方法是：
过点 P 折叠纸片，
（1）第一步得到图②．
交原 AB，
在小谢的折叠操作过程中．
使得点 B 落在 BC 边上，落点记为 B′
，
折痕分别
BC 边于点 E，即∠EDC＝ °
此时∠EDB′
；
D，
（2）第二步得到图③．并求∠
参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为： ，
EPF 的度数；
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段 ED，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明 FG∥BC．
解答题（本题 7 分）六、
29．
（7 分）如图 1 中的三种情况所示，点 P，
．
如果将线段 PM 绕点 P 顺时
对于平面内的点 M，
点 N，
就称点 N 是点 M 关于点 P 的“正矩点”针旋转 90°
能得到线段 PN，
（1）在如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy 中，P（1，
3），
Q（﹣1，
M（﹣
﹣3），
已知 S（﹣3，
1），
点 Q 中， 是点 S 关于原点 O 的“正矩点”；
M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
是点 关于点 的“正矩点” 写出一种情况即可；，
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，与 y 轴交于点 B，
点 A 关于点
直线 y＝kx+3
（k＜0）与 x 轴交于点 A，
B 的“正矩点”记为点 C，坐标为 C（x ，y ）．
c c
①当点 A 在 x 轴的正半轴上且 OA 小于 3 时，求点 C 的横坐标 x 的值；
c
②若点 C 的纵坐标 y 满足﹣1＜y ≤2，直接写出相应的 k 的取值范围．
c c
FG 得到图④，
2，
②在 S，
点
4）．
①在点 P，
P，
Q，
人教版八年级（上）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
每小题 3 分第 1～10 题均有四个选项，、
选择题（本题共 30 分，
一
是轴对称图形的是（
B．【解答】解：
A、
不是轴对称图形，B、
本选项不合题意；
不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、
不是轴对称图形，本选项不合题意；
D、
是轴对称图形，本选项正确．
D．
故选：（3 分）
m2﹣5m+6＝m
2．
A．
下列因式分解正确的是（ ）
（m﹣5）+6 B．（2m﹣1）2
2
（m+2）
m2+4m﹣4＝
C．
4m2﹣1＝
（2m+1）（2m﹣1）D．
4m2﹣1＝
（m﹣3） 故此选项错误；（m﹣2）
A、
，
m2﹣5m+6＝m
【解答】解：
（2m+1） 故此选项错误；B、
，
4m2﹣1＝
（2m﹣1）
m2+4m﹣4 不能用完全平方公式分解，4m2﹣1＝
（2m+1）
D、
（2m﹣1）
故此选项错误；
，
C、
故此选项正确；D．
故选：（3 分）
下列运算正确的是
（
3．
A．
）
2﹣3＝﹣8 B．
2﹣3＝ ，【解答】解：
C．
故选：4．
（3 分）
下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． ＝a+1
B． ＝﹣符合题意的选项只有一个
D．
（3 分）
下列图案中，
1．
A．
）
C．
2﹣3＝﹣6 C．
2﹣3＝ D．
2﹣3＝
C． ＝
D． ＝
【解答】解：A、变形不符合分式的基本性质，即 ≠a+1，所以 A 中的运算不正确；
B、变形不符合分式的基本性质，即 ＝﹣ ，所以 B 中的运算不正确；
C、运算符合分式的基本性质，即 ＝ ＝ ，故 C 中的运算正确；
D、变形不符合分式的基本性质，即 ＝m+3，所以 D 中的运算不正确；
故选：C．
5．（3 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D 为 AC 边的中点．若 BC＝6，则
BD 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵D 为 AC 边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC＝6，
∴BD＝ BC＝3，
故选：A．
6．（3 分）以下关于直线 y＝2x﹣4 的说法正确的是（ ）
A．直线 y＝2x﹣4 与 x 轴的交点的坐标为（0，﹣4）
B．坐标为（3，3）的点不在直线 y＝2x﹣4 上
C．直线 y＝2x﹣4 不经过第四象限
D．函数 y＝2x﹣4 的值随 x 的增大而减小当 y＝0 时，A、
2x﹣4＝0，
x＝2，
【解答】解：
解得：
∴直线 y＝2x﹣4 与 x 轴的交点的坐标为，
（2，
0） 选项 A 不符合题意；
当 x＝3 时，y＝2x﹣4＝2，B、
的点不在直线 y＝2x﹣4 上，3）
选项 B 符合题意；
∴坐标为
（3，
∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，
C、
∴直线 y＝2x﹣4 经过第一、选项 C 不符合题意；
四象限，
三、
∵k＝2＞0，D、
∴函数 y＝2x﹣4 的值随 x 的增大而增大，选项 D 不符合题意．
B．
故选：
在△ABC 与△EMN 中，（3 分）
如图，
若∠
∠C＝∠M＝54°
7．
BC＝MN＝a，
AC＝EM＝b，
AB＝c，
．
A＝66°
，
下列结论正确的是
（ ）
EN＝a C．∠E＝60° D．
∠N＝66°
A．
EN＝c B．
在△ABC 中，【解答】解：
如图，
则∠B＝180°
∠C＝54°
∠A＝66°
﹣54°
﹣66°
＝60°
，
，
．
∵在△ABC 与△ENM 中，
．
∴△ABC≌△ENM（SAS）．
故选项 A 符合题意，选项 B 不符合题意．
∴EN＝AB＝c，
故选项 C 不符合题意．∠E＝∠A＝66°
，
故选项 D 不符合题意．A．
∠N＝∠B＝60°
．
故选：
（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，8．
时，
B
点 M 在 x 轴上，
当 MA+MB 取得最小值
（1，
3），
（5，
1），
A
点 M 的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（4，0） C．（1，0） D．（0，4）
【解答】解：如图所示：
作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，
连接 AB′交 x 轴于点 M，
此时 MA+MB＝MA+MB′＝AB′，
根据两点之间线段最短，
所以点 M 的坐标为（4，0）
故选：B．
9．（3 分）程老师制作了如图 1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问
题．操作学具时，点 Q 在轨道槽 AM 上运动，点 P 既能在以 A 为圆心、以 8 为半径的半圆轨道槽上运
动，也能在轨道槽 QN 上运动．图 2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°可得到形状唯一确定的△PAQ
可得到形状唯一确定的△PAQ
，
，
，
PQ＝6 时，
PQ＝9 时，
④当∠PAQ＝150°
PQ＝10 时，
，
②③
PQ＝12 时，
可得到形状唯一确定的△PAQ
可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ＝30°
③当∠PAQ＝90°②③④
①②③④
与射线 AM 有两个交点，
则
D．
以 P 为圆心，
6 为半径画弧，
C．
PQ＝6 时，
（
③④
）
，
故①错误；
故②正确；
PQ＝9 时，
以 P 为圆心，
9 为半径画弧，
与射线 AM 有一个交点，
Q 点位置唯一确
，
则可得到形状唯一确定的△PAQ，
以 P 为圆心，
10 为半径画弧，
与射线 AM 有一个交点，
Q 点位置唯一
故③正确；
则可得到形状唯一确定的△PAQ，
④当∠PAQ＝150°
一确定，
以 P 为圆心，
，
12 为半径画弧，
故④正确；
PQ＝12 时，
B．
①当∠PAQ＝30°
△PAQ 的形状不能唯一确定，
PQ＝10 时，
，
其中所有正确结论的序号是
A．
【解答】解：
②当∠PAQ＝30°
定，
③当∠PAQ＝90°
确定，
与射线 AM 有一个交点，Q 点位置唯
则可得到形状唯一确定的△PAQ，C．
故选：
B 两地相距 60km，（3 分）
如图 1 所示，
甲、
乙分别从 A，
B 两地出发，
相向而行．
图 2 中的
10．
A，
乙离 B 地的距离 y（km）以下结论正确
l 分别表示甲、
2
l ，
1
与甲出发后所用的时间 x（h）
的函数关系，
（ ）的是
甲的速度为 20km/h B．甲和乙同时出发
A．
甲出发 1.4h 时与乙相遇 D．C．
乙出发 3.5h 时到达 A 地
解得 ，
即 l 对应的函数解析式为 y ＝﹣30x+60；
2 2 2 2
，
解得 ，
2 2
则 x 的值为 ﹣3 ．
（20km/h） 故本选项不合题意；A．
60÷2＝30
，
【解答】解：
甲的速度为：
根据图象即可得出甲比乙早出发 0.5 小时，故本选项不合题意；
B．
设 l 对应的函数解析式为 y ＝k x+b ，C．
1 1 1 1
，
1 1
设 l 对应的函数解析式为 y ＝k x+b ，
即 l 对应的函数解析式为 y ＝20x﹣10，
，
解得 ，
∴点 A 的实际意义是在甲出发 1.4 小时时，甲乙两车相遇，
故本选项符合题意；
根据图形即可得出乙出发 3h 时到达 A 地，C．
故本选项不合题意．
D．
故选：
第 115 题每小题 2 分，17 题每小题 2 分，
第 8 题 4 分
．
二、
11．
填空题（本题共 20 分，
第 16、
（2 分）若分式 的值为 0，
知 x+3＝0 且 x﹣1≠0．由题意，
【解答】解：
解得 x＝﹣3．﹣3．
故答案是：
a﹣5b﹣3•ab﹣2＝ （要求结果用正整数指数幂表示）计算：
（2 分）
12．
a﹣5b﹣3•ab﹣2【解答】解：
0） ，
的坐标为 （﹣2，
后的对应点 M′
16．
（3 分）
．
直线 y＝﹣2x+6 与 x 轴的交点为 M，
＝a﹣5+1b﹣3﹣2
＝a﹣4b﹣5
＝ ．
故答案为： ．
（2 分）在如图所示的“北京 2008 年奥运会开幕小型张”这个多边
13．
中，
邮票的形状是一个多边形．
形的内角和等于 720 °．
（6﹣2）【解答】解：
720故答案为：
纳米绿色印刷技术突破了传统印刷技术精度和材料种类的局限，
（即为 0.00000001 米）将 0.00000001 用科学
量级的超高精度导电线路．
．
将 0.00000001 用科学记数法表示应为 1×10﹣8．【解答】解：
1×10﹣8．故答案为：
）2＝ ．
）2＝ ；
故答案为：
将直线 y＝﹣2x+6 向左平移 5 个单位长度，点 M 平移
平移后的直线表示的一次函数的解析式为 y＝﹣2x﹣4 ．×180°
＝720°
．
（2 分）
14．
可以在硅片上印刷出 10 纳米
记数法表示应为 1×10﹣8
（2 分）
计算：
（﹣
15．
（﹣
【解答】解：
据印刷工业杂志社报道，
（1）
（2）
图中与 AC 相等的线段是 BE ，
∵直线 y＝﹣2x+6 与 x 轴的交点为 M，【解答】解：
0＝﹣2x+6，∴y＝0 时，
x＝3，解得：
∵将直线 y＝﹣2x+6 向左平移 5 个单位长度，
∴点 M 平移后的对应点 M′0），
y＝﹣2（x﹣5）+6＝﹣2x﹣4．
的坐标为：
（﹣2，
平移后的直线表示的一次函数的解析式为：
y＝﹣2x﹣4．0），
故答案为：
（﹣2，
在△ABC 中，D 两点位
（3 分）
如图，
∠BAC＝30°
∠ACB＝45°
且 C，
17．
BD∥AC，
BD＝AB，
，
，
射线 AD 上的点 E 满足∠ABE＝60°于 AB 所在直线两侧，
．
∠AEB＝ 45 °；
证明此结论只需证明△ ABC ≌△ BDE ．
∵BD∥AC，【解答】解：
（1）
∴∠ABD＝∠BAC＝30°，
∵BD＝AB，
∴∠BDA＝∠BAD＝ （180°＝75°
，
）
﹣30°
∵∠ABE＝60°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝30°＝45°
；
，
﹣30°
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DBE＝75°；
45°
故答案为：
（2）在△ABC 和△BDE 中， ，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC＝BE；BE，
BDE．
ABC，
故答案为：
S 同学把一张 6×6 的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，18．
剪去
（4 分）如图 1 所示，
1②基础上，
【解答】
然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．多余部分只留下阴影部分，
“我不用剪纸，
我直接在你的图
T 同学说：
的方式依次画出相应的与原‘逆向还原’
在图 4①中的正方形网格中画出
”画图过程如图 2 所示．
的方式，
请仿照图 2 中“逆向还原”
通过
图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．
对于图 3 中的另一种剪纸方式，
并判断它与图 2 中最后得到的图案是否相同．还原后的图案，
（在相应的方框内打勾）□不相同
答：
□相同；
在图 4①中的正方形网格中画出了还原后的图案，如图，
它与图 2 中最后得到的图案不相同．
解：
不相同．答：
第 19～24 题每小题 6 分，26 题每小题 6 分）
三、
19．
解答题（本题共 50 分，
第 25 题、
（6 分）分解因式：
（1）a2b﹣4b3；
（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
（1）原式＝b（a2﹣4b2）【解答】解：
（2）原式＝y（2a﹣b）
其中 x＝4y，y 均不为 0．
且 x，
【解答】解：
＝ •
＝ ，
当 x＝4y，
原式＝
F 分别是 AB、AC 边上的点，且
BE＝CF．DE＝DF．
求证：
∵AB＝AC，【解答】证明：
∴∠B＝∠C，
∵D 为 BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE 与△CDF 中，
，
∴△BDE≌△CDF，E、
AB＝AC，
＝b（a+2b）
﹣x（2a﹣b）
（x+
（2a﹣b）
（a﹣2b）；
（y﹣x）．
＝
（6 分）
化简并求值：
）
20．
÷ ，
原式＝
且 x，
＝
，
y 均不为 0 时，
＝ ．
（6 分）如图，
在△ABC 中，
，
D 为 BC 的中点，
已知：
21．
∴DE＝DF．
y＝ x+ 与 y 轴的交点为 A，y＝kx 的交点 M 的坐标为
22．
直线 l ：
1
直线 l 与直线 l ：
1 2
（6 分）
如图，
M（3，a）．
（1）求 a 和 k 的值；
（2）直接写出关于 x 的不等式 x+ ＜kx 的解集；
（3）若点 B 在 x 轴上，MB＝MA，
直接写出点 B 的坐标．
∵直线 l 与直线 l 的交点为 M（3，a），
1 2
【解答】解：
（1）
a）在直线 y＝ x+ 上，也在直线 y＝kx 上，
∴M（3，
∴a＝ ×3+ ＝3，
∴M（3，3），
∴3＝3k，
解得 k＝1；
（2）不等式 x+ ＜kx 的解集为 x＞3；
（3）作 MN⊥x 轴于 N，
∵直线 l ：y＝ x+ 与 y 轴的交点为 A，1
∴A（0， ），
∵M（3，3），
（3﹣ ）2＝ ，（3﹣0）2+
∴AM2＝
∵MN＝3，MB＝MA，
线路划分
A 段
B 段（新开通）
所属全国铁路网
京九线
京雄城际铁路北京段
站间
北京西﹣李营
李营﹣大兴机场
里程近似值（单位：km）
15
33
运行的平均速度（单位：
km/h）
所用时间（单位：h）
t
1.5t
∴BN＝ ＝ ，
∴B（ ，0）或 B（ ，0）．
23．（6 分）解决问题：
小川同学乘坐新开通的 C2701 次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列
车行驶的全程分别属于两段不同的路网 A 段和新开通运营的 B 段，在两段运行的平均速度有所不同，
小川搜集了相关信息填入表格．
已知 C2701 次列车在 B 段运行的平均速度比在 A 段运行的平均速度快 35km/h，在 B 段运行所用时间是
在 A 段运行所用时间的 1.5 倍．C2701 次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时？
（提示：可借助表格解决问题）
【解答】解：设 C2701 次列车在 A 段运行所用时间为 th，则在 B 段运行所用时间为 1.5th，在 A 段上行
驶的速度为 km/h，在 B 段上行驶的速度为 km/h，
根据题意列出方程，
，
解得，t＝0.2，原分式方程的解为 t＝0.2，经检验，
也符合实际意义，
∴C2701 次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要的时间为：
t+1.5t＝2.5t＝2.5×0.2＝0.5（h），
C2701 次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要 0.5h．答：
1.5t．
t；
故答案为： ； ；
（6 分）
24．
尺规作图及探究：
线段 AB＝a．已知：
（1）完成尺规作图：
点 P 在线段 AB 所在直线上方，
到一点 Q 使得 QB＝PB，连接 PQ，
并直接回答∠PQB 的度数；
中的条件“点 P 到 AB 的距离等于 ”替换为“PB 取得最大值” 其余所有条件都不，
（2）若将
（1）
此时点 P 的位置记为 P′变，
点 Q 的位置记为 Q′
连接 P′
并直接回答∠P′
B 的度数．
Q′
Q′
，
，
，
点 P 即为所求．【解答】解：
（1）如图，
∠PBA＝45°∵BP＝BQ，
，
∴∠PQB＝∠BPQ＝67.5°．
（2）如图，点 P′
即为所求．
B 取得最大值时，是等边三角形，
是等边三角形，
当 P′
△BQP′
△ABP′
QB＝60°∴∠P′
．
且点 P 到 AB 的距离等于 ，
连接 PA，
在线段 AB 上找
PA＝PB，
PB．
按以下方式探究函数 y＝|x+1|﹣x 图象与25．
（7 分）小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，
并尝试解决相关问题．性质，
请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量 x 的取值范围是 全体实数 ；
（2）补全表格：
（3）在平面直角坐标系 xOy 中画出函数 y＝|x+1|﹣x 的图象；
（用不含绝对值符号的式子表示）；
（5）写出直线 y＝﹣x+1 与函数 y＝|x+1|﹣x 的图象的交点坐标．
（1）这个函数的自变量 x 的取值范围是全体实数，【解答】解：
全体实数；故答案为：
（2）补全表格：
1，
1；
2，
故答案为：
函数 y＝|x+1|﹣x 的图象如图所示，（3）
（4）填空：
当 x≤﹣1 时，
相应的函数解析式为 y＝﹣2x﹣1
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
…
y
…
5
4
3
2
1
1
1
1
1
…
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
…
y
…
5
4
3
2
1
1
1
1
1
…
（4）当 x≤﹣1 时，
设当 x≤﹣1 时，相应的函数解析式为 y＝kx+b，
把（﹣1，1）和（﹣2，3）代入得， ，
解得： ，
∴相应的函数解析式为：y＝﹣2x﹣1；
故答案为：y＝﹣2x﹣1；
（5）解 得 ， ，
∴直线 y＝﹣x+1 与函数 y＝|x+1|﹣x 的图象的交点坐标为（0，1），（﹣2，3）．
26．（7 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 边上，连接 AD，
AE⊥AD，AE＝AD，连接 CE，DE．
（1）求证：∠B＝∠ACE；
（2）点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，连接 CM，EM．
①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当 D，E，M 三点恰好共线时点 D 的位置．请直接写出此
时∠BAD 的度数，并画出相应的图形．【解答】解：（1）∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE；
（2）①补全图形如图 1 所示，
连接 AM，
∵点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，
∴AE＝ME，AC＝MC，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△MCE（SSS），
∴∠EMC＝∠EAC，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＝∠EMC；
②如备用图，
连接 AM，由（1）知，∠ACE＝∠B，
在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∵点 M，A 关于 CE 对称，
∴AE＝ME，AM⊥CE，
∴AM∥BC，
∴∠AMD＝∠CDE，
∵AE＝ME，
∴∠AMD＝∠EAM，
∴∠CDE＝∠EAM，
∵∠B＝∠ADE＝45°，∴∠BAD+∠ADB＝∠CDE+∠ADB＝135°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴∠EAM＝∠BAD，
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠EAM，
∵AM∥BC，
∴∠BAM＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAM＝∠BAM﹣∠BAD＝45°，
∴∠CAE＝ ∠CAM＝22.5°，
∴∠BAD＝22.5°．
四、填空题（本题 6 分
27．（6 分）观察以下等式：
（﹣1）× ＝（﹣1）+ ，
（﹣2）× ＝（﹣2）+ ，，
并求∠EPF 的度数；
折痕交原 AC 边于点 F ，
落点记为 D′
参考第一步中横线上的叙述，
（2）第二步得到图③．
片，
D，
此时∠EDB′
BC 边于点 E，
过点 P 折叠纸片，
方法是：
（1）第一步得到图②．
交原 AB，
，＝
，＝
第 5 个等式为 （﹣5）（1）依此规律进行下去，
（﹣n）+ （n 为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
第 n 个等式为（﹣n）•
（﹣n）+＝
（﹣n）+ ；＝
＝﹣ ，
（﹣n）• ＝则左边＝右边，
即
已知：
如图①所示的三角形纸片内部有一点 P．
操作题（本题 7 分）五、
28．
（7 分）
借助折纸在纸片上画出过点 P 与 BC 边平行的线段 FG．任务：
阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
使得点 B 落在 BC 边上，折痕分别
落点记为 B′
，
即∠EDC＝ 90 °；
第二步的操作指令可叙述为： 过点 P 折叠纸
使得点 D 落在边 DE 上，（﹣3）
（﹣4）
（﹣3）+
（﹣4）+
×
×
猜想第 n 个等式为 （﹣n）
（﹣5）+ ，
× ＝
• ＝
【解答】解：
（1）根据题意得：
；
第 5 个等式为
（﹣5）
（﹣5）+ ，
故答案为：
（﹣5）
（﹣5）+ ；
（﹣n）•
＝
× ＝
（2）左边＝﹣ ，
右边＝
（﹣n）+ ．
× ＝
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段 ED，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明 FG∥BC．
（1）根据折叠可知：；
【解答】解：
∠EDC＝90°
故答案为 90；
（2）过点 P 折叠纸片，折痕交原 AC 边于点 F．
，
使得点 D 落在 PE 上，
落点记为 D′
由折叠过程可知：
PF＝∠EPF＝∠DPF．，
P，
∠D′
∵D′
D 三点共线，
PF+DPF＝180°∴∠D′
∴∠D′
．
PF＝90°，
∴∠EPF＝90°．
使得点 D 落在 PE 上，落点记为 D′
折痕交原 AC 边于点 F．
，
故答案为：
过点 P 折叠纸片，
（3）完成操作中的说理：
∵∠EDC＝90°，
∠EPF＝90°
，
∴∠EDC＝∠EPF．
∴FG∥BC．
解答题（本题 7 分）六、
29．
（7 分）如图 1 中的三种情况所示，点 P，
．
如果将线段 PM 绕点 P 顺时
对于平面内的点 M，
点 N，
就称点 N 是点 M 关于点 P 的“正矩点”针旋转 90°
能得到线段 PN，
（1）在如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy 中，3），
﹣3），
P（1，
Q（﹣1，
M（﹣
已知 S（﹣3，
1），
点 Q 中， 点 P 是点 S 关于原点 O 的“正矩点”；
M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
是点 P 关于点 M 的“正矩点” 写出一种情况即可；，
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，与 y 轴交于点 B，
点 A 关于点
直线 y＝kx+3
（k＜0）与 x 轴交于点 A，
B 的“正矩点”记为点 C，坐标为 C（x ，y ）．
c c
①当点 A 在 x 轴的正半轴上且 OA 小于 3 时，求点 C 的横坐标 x 的值；
c
②若点 C 的纵坐标 y 满足﹣1＜y ≤2，直接写出相应的 k 的取值范围．
c c
FG 得到图④，
2，
②在 S，
S
4）．
①在点 P，
P，
Q，
点
（﹣ ，
（1）①在点 P，
【解答】解：
点 Q 中，
（2）①如图 1，
点 B（0，
3），
点 A
0），
，
（﹣3，
3+ ），
点 S 绕点 O 顺时针旋转 90°故 S 关于点 O 的
能得到线段 OP，
“正矩点”为点 P，
故答案为点 P；
②点 S 是点 P 关于点 M 的“正矩点”（答案不唯一）；
故答案为： P，
M；
S，
作 CE⊥x 轴于点 E，作 CF⊥y 轴于点 F，
∠BFC＝∠AOB＝90°
∵∠ABO+∠CBO＝90°，
∠CBO+∠BCF＝90°
，
∴∠BCF＝∠ABO，BC＝BA，
∴△BCF≌△AOB（AAS），
∴FC＝OB＝3，
故点 C 的坐标为：
即点 C 的横坐标 x 的值为﹣3；②点 C（﹣3，
﹣1＜y ≤2，
c
即：
c
3+ ），如图 2，
﹣1＜3+ ≤2，则﹣3≤k ．