冀教版八年级上期末数学试卷2-Copy

这是一份冀教版八年级上期末数学试卷2-Copy，共24页。
将正方形纸片三次对折后，
（2 分）如图所示，
（2 分）
9 C．
8 B．
（2 分）
1．
A．
2．
A．

3．




A．
4．
）
±4 C．
2
（2 分）
D．


＝2 D． ＝3
（2 分）
冀教版八年级（上）
期末数学试卷

共 32 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合每小题 2 分，
一
、
选择题：
（本大题共 16 个小题，

请将它的代号填在题后的括号内.）题目要求的，

8 的平方根是（

4 B．
下列运算中错误的是（ ）
+ ＝ B． × ＝ C． ÷

下列基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）




D．
边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则△BDC 的

周长是（ ）









10 D．11

下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
B． C． D．

沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得

到的图形是（ ）










A． B． C． D．C．
（2 分）如图，
B．
△ABC 中，
AB＝5，
AC＝6，
BC＝4，
A．
5．
A．

6．

7．（2 分）计算 的结果是（ ）


A． + B． C． D． ﹣

8．（2 分）某工程队准备修建一条长 1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速
度比原计划快 20%，结果提前 2 天完成任务．若设原计划每天修建道路 xm，则根据题意可列方程为
（ ）

A． ﹣ ＝2 B． ﹣ ＝2

C． ﹣ ＝2 D． ﹣ ＝2

9．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为
（ ）







A．30° B．36° C．40° D．45°
10．（2 分）下列各组二次根式中，能合并的两个二次根式是（ ）

A． 和 B． 和 C． 和 D． 和

11．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于点
D，连接 BD，则∠ABD＝（ ）









A．30° B．60° C．45° D．90°
12．（2 分）若 ，则 b 的取值范围是（ ）
A．b≥0 B．b≥3 C．b≤3 D．b＞3
13．（2 分）如图，已知∠AOB＝60°，点 P 在边 OA 上，OP＝12，点 M，N 在边 OB 上，PM＝PN，若
MN＝2，则 OM＝（ ）
B．

在四边形 ABCD 中，
这
就有 x＝ （x＞0） 解得 x＝1，
则另一边长是 ，
出“式子 x+ （x＞0）
的长为（ ）









A．
（2 分）
如图，
15．

△PCD
AB＝CD，








4 C．5 D．
6
A．
3 B．

C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D．
则 BD
14．
B、
（2 分）如图，
△ABC 的顶点 A、











C． D．

BA 和 CD 的延长线交于点 E，△PAB
若点 P 使得 S ＝S

则满足此条件的点 P（ ），










有且只有 1 个A．

有且只有 2 个B．
C．

组成∠E 的角平分线
组成∠E 的角平分线和外角平分线所在的直线D．
（2 分）
16．
（E 点除外）

张华在一次数学活动中，“在面积一定的矩形中，
正方形的周长最短”
的结论，
推导
利用


在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，

矩形的周长是 2（x+ ） 当矩形成为正方形时，；
，
的最小值是 2” 其推导方法如下：
．

，
求代数式
证明过程或演算步骤）

的值．
解答应写出文字说明、
共 56 分．
且 n 是整数）行的第 2 个数是 ．
第 n（n＞1，
设点 B 所表示

















（用含 n 的代
点 A 表示﹣ ，
，
BC＝6，
AB＝9，
将△ABC 折叠，
∠B＝90°
Rt△ABC 中，
（3 分）如图，
二、
17．

18．
已知：
（3 分）
（a+6）2+ ＝0，
填空题：
＝4 最小，
因此 x+ （x＞0）
的最小值是 2．
你求得式子
A．
（x＞0）

2
模仿张华的推导，
第 1 行
1
第 2 行
2
第 3 行
2 3
第 4 行
2 4
…
…

时矩形的周长 2（x+ ）


的最小值是（ ）

6 D．B．
10
1 C．

（本大题共 4 个小题，共 12 分．
每小题 3 分，
把答案写在题中横线上）

则 2b2﹣4b﹣a 的值为 ．

使 A 点与 BC 的中点 D
则线段 BN 的长为 ．重合，
折痕为 MN，







一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2 个单位到达点 B，（3 分）
19．
如图，

（m﹣1）（m﹣3）的数为 m，
的值为 ．
则



20．
（3 分）

下面是一个按某种规律排列的数表：











那么第 5 行中的第 2 个数是 ，
数式表示）
（本大题共 6 个小题，三、

21．

22．
（9 分）在如图所示的方格纸中，
（8 分）
解答题：


当 a＝

每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都

（每个小方格的顶点叫格点）在格点上

画出△ABC 关于直线 l 对称的图形△A B C ；（1）
（2）
1 1 1

画出△ABC 关于点 O 中心对称的图形△A B C ，2 2 2
；
并标出点 M 的对称点 M′

（3）直接写出线段 MM′的长度．














23．（9 分）在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内
容．
（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线性质定理：角平分线上的点到 的距离相等．
角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在 ．
（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你
把内容补充完整
已知：如图 1，点 P 是∠AOB 内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD＝ ，求证：
点 P 在∠AOB 的 上
（3）请你完成证明过程：
（4）知识运用：如图 2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，
加油站可选择的位置共有 处．











24．（9 分）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？

（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 时，出现了滞销，于是决定
作了如图 3 所示的辅助线，




、 ）；
请你按小宇同学的思路计
若要使第二批的销售利润不低于 650 元，（利润＝
降价促销，
剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元？

售价﹣进价）
B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，B 两个村庄，
（a
A，
AB＝akm
25．
＞1）
（10 分）
．
在一平直河岸 l 同侧有 A，

现计划在河岸 l 上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水．









方案设计图 1 是方案一的示意图，
1
且
设该方案中管道长度为 d ，

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：
（其中 BP⊥l 于点 P）；设该方案中管道长度为 d ，
2
且 d ＝
2
d ＝PB+BA
1
图 2 是方案二的示意图，
（km）

与点 A 关于 l 对称，PA+PB（km）
A′
（其中点 A′
B 与 l 交于点 P）．

观察计算
（1）在方案一中，1
（用含 a 的式子表示）
d ＝ km

组长小宇为了计算 d 的长，（2）在方案二中，
2

（用含 a 的式子表示）2
算，
d ＝ km

探索归纳
（1）①当 a＝4 时，d
比较大小：
2

②当 a＝6 时，就 a（当 a＞1 时）
的所有取值情况进行分析，
要使铺设的管道长度
1
（2）请你参考方框中的方法指导，
较短，
应选择方案一还是方案二？






直线 m 经过点 A，，
AB＝AC，
26．
（11 分）
如图
在△ABC 中，
BD⊥直
（1）
∠BAC＝90°
（1） 已知：
，

垂足分别为点 D、E．
CE⊥直线 m，
线 m，
比较大小：
．


d
（填“＞”“＝”或“＜”
、 ）；
d
1

d
（填“＞”“＝”或“＜”
2

证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且
有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论 DE＝BD+CE 是否成立？如成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重
合），点 F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF 的形状并说明理由．
）
±4 C．
，
2
∵
D．







＝2 D． ＝3
正确，
不合题意；
＝ ，
正确，
不合题意；
＝2，
（2 分）
冀教版八年级（上）
期末数学试卷

参考答案与试题解析
共 32 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合每小题 2 分，
一
、
选择题：
（本大题共 16 个小题，

请将它的代号填在题后的括号内.）题目要求的，

8 的平方根是（
（2 分）
1．
A．

4 B．
【解答】解：

∴8 的平方根是 ．D．

故选：（2 分）
2．

下列运算中错误的是（ ）
A． + ＝ B． × ＝ C． ÷

A、 + 无法计算，【解答】解：
故此选项正确；

B、 ×
C、 ÷
D、＝3，
正确，
不合题意．

A．

故选：
下列基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）




C．【解答】解：
是轴对称图形，
A、

不是中心对称图形．B、
是轴对称图形，
故错误；

不是中心对称图形．C、
故错误；

不是轴对称图形，是中心对称图形．
D、
是轴对称图形，
故错误；

是中心对称图形．D．
故正确．

故选：
边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，AB＝5，
4．
则△BDC 的
△ABC 中，
（2 分）如图，
BC＝4，
AC＝6，

周长是（ ）3．




A．
B．
D．








A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设 AB 的中垂线与 AB 交于点 E，









∵ED 是 AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC 的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC 的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
5．（2 分）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．

【解答】解：B、 ＝ ＝|x|y2 ，可化简；

C、 ＝ ＝2 ，可化简；

D、 ＝ ＝ ，可化简；

因此只有 A、 是最简二次根式．

故选：A．
6．（2 分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得
到的图形是（ ）




A． B． C． D．
【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：






故选：A．

7．（2 分）计算 的结果是（ ）


A． + B． C． D． ﹣


【解答】解：原式＝4× +3× ﹣2 ＝ ．

故选：B．
8．（2 分）某工程队准备修建一条长 1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速
度比原计划快 20%，结果提前 2 天完成任务．若设原计划每天修建道路 xm，则根据题意可列方程为
（ ）

A． ﹣ ＝2 B． ﹣ ＝2

C． ﹣ ＝2 D． ﹣ ＝2

【解答】解：设原计划每天修建道路 xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，

由题意得， ﹣ ＝2．

故选：D．
9．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为
（ ）







A．30° B．36° C．40° D．45°
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°
故选：B．
10．（2 分）下列各组二次根式中，能合并的两个二次根式是（ ）

A． 和 B． 和 C． 和 D． 和

【解答】解：A、 ，3 与 不能合并，故错误；

B、 ， 与 能合并，正确；

C、 ， ＝|b| ，不能合并，故错误；

D、 与 不能合并，故错误；
故选：B．
11．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于点
D，连接 BD，则∠ABD＝（ ）









A．30° B．60° C．45° D．90°
【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
又∵以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于点 D，
∴∠DBC＝2（90°﹣∠BDC）＝2×（90°﹣75°）＝30°，
又∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°，
故选：C．
12．（2 分）若 ，则 b 的取值范围是（ ）
A．b≥0 B．b≥3 C．b≤3 D．b＞3
【解答】解：∵ ，

∴3﹣b≥0，
∴b≤3．
故选：C．
13．（2 分）如图，已知∠AOB＝60°，点 P 在边 OA 上，OP＝12，点 M，N 在边 OB 上，PM＝PN，若
MN＝2，则 OM＝（ ）










A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过 P 作 PD⊥OB，交 OB 于点 D，

在 Rt△OPD 中，cos60°＝ ＝ ，OP＝12，

∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，

∴MD＝ND＝ MN＝1，

∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故选：C．










14．（2 分）如图，△ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D．则 BD
的长为（ ）








B． C． D．

由勾股定理得 AC＝ ＝ ．

∵ BC×2＝ AC•BD，


∴BD＝ ．
C．

故选：









BA 和 CD 的延长线交于点 E，（2 分）
如图，
在四边形 ABCD 中，
若点 P 使得 S ＝S
△PAB
AB＝CD，
15．

△PCD

则满足此条件的点 P（ ），










有且只有 1 个A．

有且只有 2 个B．
C．

组成∠E 的角平分线
组成∠E 的角平分线和外角平分线所在的直线D．
（E 点除外）

作∠E 的平分线，【解答】解：

可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等，
因为 AB＝CD，
所以此时点 P 满足 S ＝S ．△PAB △PCD
A．

【解答】解：
如图，
即 ×2×2＝ × BD

∵
（a+6）
二、
17．
已知：
（3 分）
出“式子 x+ （x＞0）
则另一边长是 ，
就有 x＝ （x＞0） 解得 x＝1，
这
＝4 最小，
因此 x+ （x＞0）
的最小值是 2．
模仿张华的推导，
你求得式子
组成∠E 的角平分线和外角平分线所在的直线（E 点除外）
D．

故选：（2 分）
16．

张华在一次数学活动中，正方形的周长最短”
的结论，
推导
利用
“在面积一定的矩形中，


在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，

矩形的周长是 2（x+ ） 当矩形成为正方形时，；


时矩形的周长 2（x+ ）

（x＞0）

的最小值是（ ）
1 C．
10
6 D．

B．2
A．

∵x＞0，【解答】解：

∴在原式中分母分子同除以 x，

即 ＝x+ ，

在面积是 9 的矩形中设矩形的一边长为 x，

矩形的周长是 2（x+ ）；

当矩形成为正方形时，

解得 x＝3，

这时矩形的周长 2（x+ ）＝12 最小，


因此 x+ （x＞0）的最小值是 6．

C．

故选：
（本大题共 4 个小题，共 12 分．
把答案写在题中横线上）
每小题 3 分，

则 2b2﹣4b﹣a 的值为 12 ．

【解答】解：

b2﹣2b﹣3＝0，∴a+6＝0，

b2﹣2b＝3，a＝﹣6，
解得，

可得 2b2﹣4b＝6，则另一边长是 ，
就有 x＝ ，
（x＞0），
填空题：
（a+6）2+ ＝0，
2
+ ＝0，
的最小值是 2” 其推导方法如下：
．
，

第 1 行
1
第 2 行
2
第 3 行
2 3
第 4 行
2 4

则 2b2﹣4b﹣a＝6﹣（﹣6）＝12，
故答案为：12．
18．（3 分）如图，Rt△ABC 中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D
重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 4 ．






【解答】解：设 BN＝x，由折叠的性质可得 DN＝AN＝9﹣x，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD＝3，
在 Rt△BND 中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得 x＝4．
故线段 BN 的长为 4．
故答案为：4．
19．（3 分）如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2 个单位到达点 B，点 A 表示﹣ ，设点 B 所表示
的数为 m，则（m﹣1）（m﹣3）的值为 1 ．



【解答】解：由题意得：m＝﹣ +2，
（m﹣1）（m﹣3）
＝（﹣ +2﹣1）（﹣ +2﹣3）
＝（1﹣ ）（﹣1﹣ ）
＝2﹣1
＝1，
故答案为：1．
20．（3 分）下面是一个按某种规律排列的数表：
）+








原式＝2．
（2﹣
＝
（2﹣
（2+ ）
a＝
（
【解答】解：
当 a＝
（8 分）
三、

21．
．
解答题：
共 56 分．
解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）

的值．
求代数式
… …
那么第 5 行中的第 2 个数是 3 ，（n＞1，
且 n 是整数）
行的第 2 个数是
第 n

（用含 n 的代数式表示）

第五行的第二个数是 ，【解答】解：

第 n 行的第二个数的算术平方根是 ，

3 ， ．故答案为：


（本大题共 6 个小题，

，

+2）（2﹣ ）2+
）（2﹣ ）+
＝1×
＝2，

原式＝

＝

当 a＝2 时，
每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，（9 分）在如图所示的方格纸中，
22．
△ABC 的三个顶点都

（每个小方格的顶点叫格点）在格点上

画出△ABC 关于直线 l 对称的图形△A B C ；（1）
（2）
1 1 1

画出△ABC 关于点 O 中心对称的图形△A B C ，2 2 2
并标出点 M 的对称点 M′
；

（3）直接写出线段 MM′的长度．















（1）△A B C 如图所示；【解答】解：
1 1 1

＝ ＝2 ．
△A B C 如图所示；（2）
2 2 2

（3）MM′













（9 分）
23．

在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，你还是否记得它们的具体内
那么，

容．
（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线上的点到 这个角的两边 的距离相等．角平分线性质定理：
角平分线判定定理：

到角的两边距离相等的点在 角平分线上 ．
（2）老师在黑板上画出了图形，求证写在了黑板上，
可是有些内容不完整，
请你


求证：
把判定定理的已知、
且 PD＝ PE ，
E，
垂足分别为 D、
PE⊥OB，
PD⊥AO，

把内容补充完整
点 P 是∠AOB 内一点，已知：
如图 1，

点 P 在∠AOB 的 平分线上 上
（3）请你完成证明过程：（4）
三条公路两两相交，
现在要修建一加油站，
知识运用：
如图 2，

使加油站到三条公路的距离相等，
加油站可选择的位置共有 4 处．










【解答】解：
（1）角平分线性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
到角的两边距离相等的点在角平分线上，角平分线判定定理：

这个角的两边；角平分线上；
故答案为：

点 P 是∠AOB 内一点，且 PD＝PE，
垂足分别为 D、E，
如图 1，
已知：
（2）
PE⊥OB，
PD⊥AO，
求

证：点 P 在∠AOB 的平分线上．
故答案为：PE；平分线上；
（3）如图：作射线 OP，
∵PD⊥AO，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，

，

∴Rt△OPD≌Rt△OPE，
∴∠DOP＝∠EOP，
∴OP 是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 平分线上；
（4）如图 2，M、N、G、H 即为所求，
故答案为：4．





















24．（9 分）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？

（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 时，出现了滞销，于是决定

降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝
售价﹣进价）
＞ d
比较大小：
＜ d
＝
（1）设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，得
【解答】解：
由题意，


，

解得 x＝90，
经检验 x＝90 是分式方程的解，符合题意．

第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元；答：



（2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元．

第二批购进 ＝50（件）．（1）
由
知，


得 120×50× +y×50× ﹣4950≥650，由题意，


解得 y≥80．
剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元．答：

B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，B 两个村庄，
AB＝akm
（a
25．
A，
（10 分）
在一平直河岸 l 同侧有 A，

＞1） 现计划在河岸 l 上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水．
．









方案设计图 1 是方案一的示意图，
1
且
设该方案中管道长度为 d ，

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：
（其中 BP⊥l 于点 P）；设该方案中管道长度为 d ，
2
且 d ＝
2
d ＝PB+BA
1
（km）
图 2 是方案二的示意图，

与点 A 关于 l 对称，PA+PB（km）
A′
（其中点 A′
B 与 l 交于点 P）．

观察计算
（1）在方案一中，


d ＝ a+2 km（用含 a 的式子表示）1

组长小宇为了计算 d 的长，请你按小宇同学的思路计
2
（2）在方案二中，
作了如图 3 所示的辅助线，

（用含 a 的式子表示）（填“＞”“＝”或“＜”
．



、 ）；


探索归纳
（1）①当 a＝4 时，2

②当 a＝6 时，就 a（当 a＞1 时）
（2）请你参考方框中的方法指导，
要使铺设的管道长度
的所有取值情况进行分析，
算，
比较大小：
2
d
1
“＝”或“＜”
）；
（填“＞”
、
d ＝ km
2
d
1

即 a＝5 时，
即 a＞5 时，
较短，
应选择方案一还是方案二？













作 A 关于执行 l 的对称点 A′∵如图 1，
连接 PA′
，
，
【解答】解：
（1）

∵A 和 A'关于直线 l 对称，
∴PA＝PA'，
d ＝PB+BA＝PB+PA'＝a+2；a+2；
1

故答案为：


因为 BK2＝a2﹣1，（2）

A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24
所以 d ＝ ；2


故答案为： ；


探索归纳：
（1）①当 a＝4 时，d ＜d ；
1 2
，

1

＜，＞；



2 2
1 2
①当 4a﹣20＞0，
∴d ﹣d ＞0，1 2

1 2



1 2

∴d ＞d ；
②当 4a﹣20＝0，
∴d ﹣d ＝0，②当 a＝6 时，
故答案为：
（a+2）2﹣
（
2 2
1 2
）2＝4a﹣20．

d ﹣d ＞0，




d ﹣d ＝0，
d ＝6，
1
d ＝
，
2
d ＝8，
d ＝
2
d ＞d ；
1 2
（2）d ﹣d ＝
2 2
1 2

∴d ＝d1 2

③当 4a﹣20＜0，d ﹣d ＜0，
即 a＜5 时，
2 2
1 2

∴d ﹣d ＜0，1 2
∴d ＜d


1 2选方案二；
当 a＞5 时，

综上可知：当 a＝5 时，

选方案一或方案二；
当 1＜a＜5 时，选方案一．








直线 m 经过点 A，（11 分）
（1）
如图
在△ABC 中，
BD⊥直
26．
∠BAC＝90°
AB＝AC，
，
（1） 已知：
，

垂足分别为点 D、E．
线 m，
证明：
CE⊥直线 m，

DE＝BD+CE．
（2）如图将
中的条件改为：
D、A、E 三点都在直线 m 上，
（2），
（1）
AB＝AC，
在△ABC 中，
其中 α 为任意锐角或钝角．
并且
请说明理由．
请问结论 DE＝BD+CE 是否成立？如成立，
若不成立，

有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
请你给出证明；
E 三点所在直线 m 上的两动点D、E 是 D、
E 三点互不重
（3），
（D、
A、
A、
（3）拓展与应用：
如图

且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接 BD、
若∠BDA＝
CE，
合），
点 F 为∠BAC 平分线上的一点，

试判断△DEF 的形状并说明理由．∠AEC＝∠BAC，









∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，
【解答】解：
（1）如图 1，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB 和△CEA 中，

，


∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）如图 2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB 和△CEA 中，


，


∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；


（3）如图 3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF 和△EAF 中，


，


∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF 为等边三角形．