湘教版九年级上册2.1 一元二次方程获奖教案

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同学们，从这节课开始，我们将一起开始学习关于一元二次方程的知识，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的有关方程的知识：

1.什么叫方程？我们学过哪些方程？

方程：含有未知数的等式.

我们学过的方程：①一元一次方程： 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程.

   ②二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的等式方程.

  ③分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.下列式子哪些是方程？如果是的话是什么方程？

12+6=18     等式

2x+13       代数式

5x+16=22     一元一次方程

x+3y=18      二元一次方程组

x-5<108      不等式

    分式方程

接下来，我们看几个例子：

1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足方程（其中π取3）.

要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系.

等量关系：矩形的面积-圆的面积=矩形的面积×.

解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.

        根据题意得：200×150-3x2 ＝200×150×．

        整理得：x2 - 2500＝0．①

方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2

 2.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.

等量关系：两年后汽车拥有量=前年汽车拥有量×（1 +年平均增长率）2.

解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.

     根据等量关系， 列出方程：75 （1 + x ）2 = 108.

     化简， 整理得：25x2 + 50x - 11 ＝ 0．②

方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2

    方程 x2 - 2500＝0、25x2 + 50x - 11 ＝ 0．都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

 共同点：

①都是整式方程，方程的右边为0；

②只含一个未知数；

③未知数的最高次数是2；即方程左边只有一个二次项.

那么，具有这样特点的方程叫什么方程呢？

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

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例题讲解

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例题讲解

像刚刚探究里的 x2 - 2500＝0、25x2 + 50x - 11 ＝ 0的方程一样，这样的方程我们叫做一元二次方程。具体的定义为：

  如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程.

 同样，我们可以将一元二次方程定义为：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程.

其中一元指的是只含有一个未知数，二次是指未知数的最高次数为2.

 一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0），其中 a：二次项系数； b：一次项系数；c：常数项.

想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？

可以得到结论：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.

  【例1】判断下列方程是否为一元二次方程：

① 10x2=90     （ √ ）    ②2（x-1）=3x （  × ）

③2x2-x-1<10  （ × ）    ④ （ × ）

⑤2xy-70=0    （ × ）   ⑥9x2=5-4x（  √）

⑦4x2=15x    （ √  ）  ⑧3y2+14=5y（  √）

【方法总结】判断一个方程是不是一元二次方程，（1）方程是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2.

【例2】下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

   （1）3x （1 – x ） + 10 = 2（ x + 2）

分析：根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断.

解：去括号， 得：3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.

移项， 合并同类项， 得：- 3x2 + x + 6 = 0，

这是一元二次方程， 其中二次项系数是-3， 一次项系数是1， 常数项是6.

思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？

解：可以，此时二次项系数是3，一次项系数是-1， 常数项是-6.

（2） 5x （ x + 1） + 7 = 5x2 - 4.

解：去括号， 得：5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.

移项， 合并同类项， 得：5x + 11 = 0，

这是一元一次方程， 不是一元二次方程.

求一元二次方程的各系数注意点

1.要先化成 ax²+bx+c=0 的一般形式；

2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形；

3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项；

4.写系数时，要带上前面的符号.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成一元二次方程的概念。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。

用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。

课堂练习

课堂练习

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扩展提升

１.请用线把左边方程与右边所对应方程类型连接起来：

2.某商店原来平均每天可销售某水果150kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每降价1元，那么每天可以多售出20kg，若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？设每千克降价x元，则所列的方程是（              B   ）

 A.（150+x）（7+x）=960

 B. （150+20x）（7-x）=960

 C. （150+20x）（7+x）=960

 D. （150+x）（7+20x）=960

3.一个大正方形的边长是某小正方形边长的3倍多1，若这两个正方形面积的和为53，设小正方形的边长为x，那么可以列出怎样的方程？其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为多少？

解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为3x+1.

     ∵这两个正方形的面积的和为53，

     ∴（3x+1）²+x²=53，化为一般形式为5x²+3x-26=0.

     ∴二次项系数为5；一次项系数为3；常数项为-26.

4.填空：

【扩展提升】为何值时，下列方程为一元二次方程？

（1）ax2-x=2x2     （2）（a-1）x ∣a∣ +1  -2x-7=0.

解：（1）将方程式转化为一般形式，得（a-2）x2-x=0，

     ∴当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；

    （2）由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0，

    ∴当a=-1时，原方程是一元二次方程.

【方法总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【做一做】方程（m-1）x ∣m∣ +1  +5x+4=0是关于x的一元二次方程，求m的值.

   解：∵原方程是一元二次方程

 ∴，

 ∴m=-1.

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

扩展提示时候，学生借助自己前面的知识先自主完成，然后听老师讲解，再进行做一做练习巩固提升。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助扩展提升和做一做，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程.

 2.一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）， a：二次项系数 ； b：一次项系数；c：常数项.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

一元二次方程

 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程.

 2.一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）

           a：二次项系数     b：一次项系数   c：常数项

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第28页练习第1、2题.

教材第28页练习2.1第2题.

教材第29页练习2.1第3、6题.